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SAT数学的三角形:几何策略和实践问题

张贴了 考特尼蒙哥马利|2019年12月27日下午5:00:00

坐了数学

feature_trigles.jpg.jpg.

三角问题在SAT所有数学问题中所占比例不到10%。尽管如此,你们还是想答对这些问题,所以你们应该准备好了解每一种三角形:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形——SAT可以测试任何一种。由于三角形问题只占SAT数学问题的一小部分,你不应该把所有的学习时间都花在三角形上。

这篇文章应该是所有你需要准备你解决SAT三角问题。我会告诉你SAT考试中会出现的三角形的类型,它们的公式,以及你在处理三角形问题时需要使用的策略。我还会详细讲解SAT数学练习题,并解释如何解决三角题。

三角形是什么?

首先,让我们谈谈基础。三角形是由三条直线组成的平面图,该线在三个角度连接在一起。这些角度的总和是180°。

三角形的三条边都称为三角形的一条“腿”,直角三角形最长的一条边称为“斜边”。斜边的对边总是90°,是三个角中最大的一个。

body_sat_triangles_leg_example.

body_classification - 1. - png当我们看到许多不同的类型时,您会注意到许多类别的三角形将是其他类别三角形的子集,定义将继续缩小。

特殊三角形

有几种不同类型的特殊三角形,它们都经常出现在SAT中。

在这一节中,我们将定义并描述考试中出现的所有不同类型的三角形。在下一节中,我们将介绍SAT三角问题中需要知道的所有公式,以及如何使用它们。

等边三角形

等边三角形是三角形,其具有三个相等的腿和三个相等的角度。虽然腿部测量可以是任何东西(只要它们都是相等的),但角度测量必须等于60°。为什么?因为三角形的角度必须始终为180°,而且$ {180} / {3} = 60 $。

body_equilateral

让我们来看看这些类型的三角形的实际应用。注意:这道题是旧试题的修改版,是新试题的修改版。

body_trianglequestion1.png

在上图中,三角形ABC铭刻在圆圈中,中心O和直径AC。如果$ \ ov {ab} = \ ov {ao} $,∠abo的程度测量是多少?

(一)15°

(B) 30°

(C) 45°

(D) 60°

答案的解释:已知圆的两条边长相等,因此必须找出一个未知的角,∠ABO。如果你熟悉你的,那么你就知道一个圆的任意半径都是相等的。

$\ov{AO}$和$\ov{OB}$都是圆的半径,所以它们必须相等。

这意味着圆的三个分支boa线$\ov {AO}$、$\ov {OB}$和$\ov {BA}$ -是相等的。我们知道三角形有三条等边意味着我们有一个等边三角形。

我们还知道等边三角形有三个相等的内角,所有这些都是60度。这意味着ABO的角度为60度。

最终答案是D,60°。

等腰三角形

等腰三角形是指两个边和两个角相等的三角形。

body_isosceles

等边的对边总是相等的,等边的对边也总是相等的。这些知识通常会帮助你在很多SAT题目中找到正确答案,而在这些题目中,你似乎只得到很少的信息。

body_triaques2.png

答案的解释:因为题目告诉你$180−z=2y$和$y=75$,我们知道$180−z=(2)(75)$,求解得到$z=30$。如果$z=30$,则右边等腰三角形的每个底角都是75°(${180−30}/{2}$)。因此,标为$x°$的角度是$180°−75°=105°$,因此$x$的值是105。答案是105。

直角三角形

右三角形是三角形,其中一个角度测量90°(90°是直角)。这意味着总和另外两个角也必须是90度,因为三角形的两个角之和总是180度。

body_right_triangle

特殊的直角三角形

直角三角形有许多不同的种类,其中一些被认为是“特殊的”。这些三角形有固定的角或边长以及相应的公式。理解这些类型的三角形(及其公式)将为您节省大量的时间在三角形问题上。

我们将在下一节讨论与这些类型的三角形对应的公式,但是现在我们先讨论它们的定义。

等腰右三角形

等腰直角三角形就像它听起来的那样,是一个两条边和两个角相等的直角三角形。

虽然侧面测量可以改变,但是等腰三角形将始终具有一个90°角和两个45°角。(为什么?因为右三角形必须通过定义具有一个90°角,而另外两个角度必须加入90°。因此$ {90} / {2} = 45 $。


body_isosceles_right.

30-60-90三角形

一个30-60-90三角形是一个由角度定义的特殊右三角形。由于其90°角,它是一个正确的三角形,另外两个角度必须为30°和60°。

它也是等边三角形的一半。如前所述,等边三角形有三个等角,都是60度。如果你把另一个30-60-90三角形和这个三角形连起来(沿着60°对边),你就得到了一个所有角都是60°的等边三角形。

Body_30-60-90.

3-4-5和5-12-13直角三角形

3-4-5和5-12-13三角形是由边长决定的特殊直角三角形。数字3-4-5和5-12-13描述了三角形腿的长度,这意味着,当你有一个直角三角形,一条腿长4,斜边长5,那么你自动知道第三条腿等于3。

body_side_lengths-1

这些数字的任何一致倍数也将相同的方式工作。所以一个正确的三角形可以有腿长:

3 (1) 4 (1) 5 (1) = > 3-4-5

3 (2) 4 (2) 5 (2) = > 6-8-10

3 (3) 4 (3) 5 (3) = > 9-12-15

等等。

这些被认为是“特殊”直角三角形,因为它们所有的边都是整数。

body_Pythagoras.jpg

认识这个帅哥吗?因为毕达哥拉斯在这里传授他的三角智慧。

三角形的公式

现在你已经知道了所有三角形的样子,让我们来看看如何找到缺失的变量和关于它们的信息。

body_formulas-1.png

这是您将在每个SAT数学部分给出的公式框。虽然您需要了解三角形的所有公式都包括,但您必须了解这些公式的工作方式以及为什么以及何时使用它们。它还将节省您的时间和精力来记住这些而不是在问题和公式框之间来回翻转。

所以如果可能的话,记住你的公式,阅读下面的内容,看看这些公式的意思和使用方法。如果您在解决问题时不知道如何在解决问题时,世界上所有的配方盒都不值得纸张。

所有三角形

一些公式适用于所有三角形,而其他公式仅适用于特殊三角形。因此,让我们先看看适用于任何和所有类型的三角形的三角形公式。

区域

$ $ = {1} / {2} $ $

$ B $是三角形的基础,这是三角形腿中的任何一个的长度。

$h$是三角形的高度,从三角形底边画一条直线(90°角)到三角形底边的对边。

这意味着,在直角三角形中,高是与底边成90度角的腿的长度。在非直角三角形中,您必须为您的高度创建一条新的直线。

body_triangle_height

周长

l p =1+ L.2+ L.3.

就像任何其他类型的平面几何图形一样,三角形的周长是它的外边长(三角形的三条腿)之和。

body_leg_perimeter

直角三角形

也有一些公式适用于直角三角形和特定类型的直角三角形。让我们来看一看。

勾股定理

一个2+ B.2= c2

勾股定理允许你通过直角三角形其他边的长度来求直角三角形的边长。A和b表示三角形较短的两条边,而c总是90°角(斜边)的对边。

3-4-5和5-12-13三角形(以及它们的倍数)很特殊,因为你不需要通过勾股定理来找到第三长度的边长(当然,你总是可以的)。记住,如果直角三角形的一条边是8斜边是10,那么你就会自动知道第三条边是6。

三角公式:正弦和余弦

三角学占所有数学问题的不到5%,但在不知道三角形的公式的情况下,您将无法正确地回答任何三角题。查看我们的三角指南要了解所需的所有公式,并学习如何将公式应用于SAT数学问题。

等腰右三角形

√x, x, x2

虽然你可以用勾股定理找到等腰三角形缺失的边长,你也可以用一个捷径,说等边长是每个x,斜边是$x√2$。

body_x_x_x_root_2-1

为什么这项工作?好吧,想想一个腿长6的等腰三角形。

body_isosceles_6_leg

我们知道第二条边也一定等于6因为在等腰三角形中两条边相等。我们也可以用勾股定理求出斜边因为这是个直角三角形。所以:

62+62= c2

36 + 36 = c2

72 = c2

72 $ $ $ $ c =√

$c =√36 *√2看看我们的SAT指南高级整数如果这个过程对你不熟悉,那么它就根系。)

$ c =6√2$

因此,我们留下了6,6和600美元$ 6,6和6美元。或者,换句话说,我们的侧面长度为x,x和$x√2$。

30-60-90三角形

$$ x,x√3,2x $$

就像使用右三角形的等态一样,一个30-60-90三角形具有由一组规则决定的一侧长度。再次,您可以使用Pythagorean定理找到这些长度,但您也可以始终使用规则找到它们:$ x,x√3,2x $,其中$ x $侧面相反,$x√3$。相反的侧面60°,2倍$ 20°相反。

body_30 _example.png——60 - 90

当给出一个更复杂的三角形问题时,这些知识可以帮助你找到边的长度。

body_studious.jpg好学!狗现在为你的勤奋感到骄傲。(这么多好学。)

典型的三角议问题

让我们来看看每个类别中的一些标准类型的问题。注意:这里提供的问题示例不是来自正式的SAT考试,因为新SAT考试要到2016年3月才开始。这些问题来自大学理事会新的SAT练习测试或改编自新六所的大学董事会学习材料。

#1:查找缺失的值

大多数三角形问题都属于这一类——您将被要求根据给定的信息找到缺失的角、面积、周长或边长(以及其他内容)。

有些题目会比其他的更复杂,但SAT总会提供足够的信息来解决问题,所以要靠你们把线索组合在一起。

让我们走过这个类型的示例问题:

body_triaques7.png.
注:图不是按比例绘制的。

在上图中,直线与线平行n、线d垂直于直线n和线条e相交线和行n.x的长度是多少?

答案的解释:因为线d和行e它们在C点相交,∠>ACB和∠DCE为垂直的角度,因此它们在尺度上是相等的。因为线与线平行n,∠dec和∠cab是内错角因此,∠DEC和∠CAB的度数相等。由角度角定理,三角形ABC类似于三角形EDC,顶点A、B、C分别对应顶点E、D、C。

另外,三角形EDC是一个直角三角形,你可以用勾股定理或3-4-5直角三角形的知识求出斜边是5。

由于三角形ABC与三角形EDC相似,两个三角形对应边的长度之比相同,因此${CD}/{BC}={3}/{5}={DE}/{AB}={4}/{x}$。

解决$ x $,我们得到3x = 20美元。因此,$ x = {20} / {3} $。

2 .比率和(In)等式

这类问题通常会要求你找出不同三角形之间的比例,或者问你三角形的某些边或角是否相等。

body_triaques3.png

答案的解释:角ABE和DBC是垂直的角度(意思是它们是两种交叉线制成的相对角度),因此它们具有相同的措施。由于段AE平行于段CD,因此角A和D具有相同的措施内错角定理.由于三角形ABE和DBC中的所有角都是相等的,三角形ABE类似于三角形DBC,顶点A、B和E分别对应顶点D、B和C。因此,

body_triaques3a.png
解决此问题,您得到CB = 4,因此CE = CB + Be = 4 + 8 = 12。

#3:多形状或形状中的形状

正如你从之前的例子中看到的,SAT中的一些三角形问题会涉及到多个三角形(或其他几何形状)组合在一起。这种呈现问题的技巧旨在挑战你对线、角和三角形的理解。

对于这些类型的问题,您必须使用您给出的信息,并在依据所需的内容时,您可以使用更多信息。它基本上是解决问题的多米诺骨髓效应。

body_triaques4.png.

答案的解释:题目告诉你,∠AEB和∠CDB是同一个度数。因为∠ABE和∠CBD分别为垂直的角度(意思是它们是由两条相交的线构成的对角),它们有相同的度数。三角形EAB与三角形DCB相似,因为这两个三角形有两对相等的同位角(三角形相似度的角-角判据).由于三角形相似,对应边的比例相同:

$ $ {CD} / {x} = {BD} / {EB} $ $

将给定值为800的CD,700为BD,1400 for EB以$ {CD} / {x} = {bd} / {EB} $给$ {800} / {x} = {700} / {1400} $

因此,$ x ={(800)(1400)} /{700} = 1600美元。

最终答案是1600。

#4:变量和组合变量

最后,涉及多个变量(或只有在问题和答案中,答案通常位于任何SAT数学部分的最后三个问题中的某个位置。这意味着它们是大多数学生的最具挑战性的数学问题类型。

好消息是,有许多不同的方法来解决这些类型的问题,并且一点时间,组织和创造力几乎总是让你正确的答案。

考虑到这些问题涉及多个变量,看出策略可能是一个好主意代入数据如果你还没有这样做。如果你对几何和/或代数犹豫不决,或者只是多个整数困扰你,这是一个很好的技巧。

让我们来看看这类问题的一个例子以及解决它的各种方法。

body_sat_triangles_20

以下哪项表达$ x $和$ y $的$ z $?

(一)2 x + y−3 180美元

(B) x + 2 y−180美元

(C) x−−y 180美元

(d)$ 360-2x-3Y $


如您所见,这是一个使用多个变量的三角形问题,因此有点复杂。让我们看看解决这个问题的所有选项:

解决方法一:代入我们自己的数字

在大多数情况下,当你的问题或答案选项中有多个变量时,你可以使用的一个确定无疑的技巧就是把你自己的数字代入。(关于这个策略的更多信息,请查看我们的指南代入数据。)

给定变量$x$和$y$,并要求找到$z$。因此,让我们为$x$和$y$选择一些看起来合适的值,并用它们来求$z$。

假设$x=60$ y=70$。为什么这些数字?为什么不呢!

body_sat_triangles_20.1

因为三角形的内角之和总是180°,我们可以通过下面的语句找到下面两个三角形中缺失的值:

$ $ 180−−70 = 50 $ $

body_sat_triangles_20.2

这意味着我们还可以找到我们顶级三角形中缺失角度的值,因为我们知道直线也必须等于180°。所以:

$ $ 180−−50 = 80 $ $

body_sat_triangles_20.3

这意味着我们最终可以通过说:

$$ z = 180-80-70 $$

z = 30 $ $ $ $

现在,让我们使用与$ x $和$ y $相同的值,我们在问题中使用了我们的问题,以找到哪个答案选择(或选择)获取US $ z = 30 $。

回答选择a给我们:

$ $ 2 x + 3 y−180 $ $

当我们替换变量时,它是:

$ $ 2(60) + 3(70)−180美元美元

120美元+ 210−180美元

$$ 150 $$

我们正在寻找匹配$ z = 30 $匹配的答案,所以这太大了。我们可以消除答案选择A.

让我们尝试回答选择B:

$ $ x + 2 y−180 $ $

$ $ 60 + 2(70)−180 $ $

$$ 60 + 140-180 $$

$ $ $ 20美元

这个答案仍然不等于30,所以我们可以消除答案选择B.

答案C:

$$ 180-x-y $$

但是我们已经知道这是50,而不是30,因为我们用这个方程来求之前三角形缺失的部分(180 - 60 - 70)我们可以消去选项C。

通过排除法,答案D必须是正确的。但让我们再确认一下。

$ $ 360−2 x−3 y $ $

$$ 360-2(60)-3(70)$$

360−120−210美元美元

$ $ $ 30美元

成功!我们已经找到了一个符合我们找到$ z $的答案选择(并且只有一个答案选择)。

最终答案是D。

解决方法2:代数方法

或者,我们可以用纯代数和三角形的性质来找到答案,而不是自己填数字。为了做到这一点,我们实际上是在重复上面的过程,即在保持变量不变的前提下找到丢失的变量。

body_sat_triangles_20

我们关注的三个三角形的每一个加起来都是180度。我们有三个不同的三角形和三个缺失的角,所以它们的方程是这样的:

$$ 180-x-y $$

$$ 180-x-y $$

−−z 180美元美元

我们知道所有这些方程都会发现我们三个未标记的角度之一。我们还知道这三个角度增加了最多180°。(为什么?因为它们位于直线上,直线等于180°。)

所以当我们把这些方程加起来,使它们等于180度,我们得到:

$$(180-x-y)+(180-x-y)+(180-y-z)= 180 $$

$ $ 540−2 x y−−3 z = 180 $ $

$ $−2 x y z =−−−360美元美元

$$ - z = -360 + 2x + 3y $$

$ $ x z = 360−−3 y $ $

所以,我们的最终答案是D.

(注意:还有第三种甚至更快的方法来解决这个涉及四边形的问题。看看我们的指南坐在多边形更多信息!)

body_stand_out - 1. - jpg虽然SAT中有很多不同类型的三角形问题,但它们往往会从人群中脱颖而出。

如何解决三角形问题

三角问题同样多(占总题数的近10%)整个SAT数学部分),因为他们是不同的。正因为如此,很难分解出解决三角问题的确切路径。

那个说,你在解决三角形问题时最大的资产和战略将是:

#1:使用你的公式(并采取你的捷径)

对于任何三角形问题来说,使用公式绝对是最关键的一步。,考虑到大部分公式实质上充当捷径(为什么要与勾股定理解决当你知道30-60-90三角形的腿是$ x, x√3,2 x $ ?),你会节省大量的时间和精力,你可以保持你的公式,在秩序。

#2:当使用多种形状时,将其分解成小步骤

记住,处理多形状三角形问题就像处理多米诺骨牌。每一个连续的信息都为找到下一个信息让路。

不要因为你没有足够的信息或有太多的形状或线条需要处理而感到害怕。你总是有足够的数据去进行——只要专注于每次找到一个形状和一条信息,多米诺骨牌就会到位。

3 .把它抽出来

如果没人给你图,你自己画。画在上面当你鉴于图片。写下你的给定和所有的测量你找到了你丢失的变量(或变量),并标记相等的线和角。

您可以澄清您的图表越多,您就越可能在错位或混淆您的数字和平等中的粗心错误。

#4:尽可能把你自己的数字填上

最后,如果需要,请给自己休息处理变量和复杂的代数。在单独处理变量时造成错误可能太容易了,所以如果您有时间备用,请访问自己的数字!


body_bug_out_bag.jpg你拥有的信息和策略比你想象的要多。只要把它们放在手边,在头脑中组织好,你就会做好准备。

测试你的知识

现在让我们以更多,SAT数学问题测试三角形知识。注意:这些问题不是官方SAT数学部分问题(自2016年3月新重新设计的SAT亮点以来)。这些问题是从大学董事会实践测试中获取新坐的或改编自其他新的SAT练习问题和旧的SAT问题。

1.

Body_triaques8.png.

注:图不是按比例绘制的。

在上图中,一个有8条边的正多边形被从多边形中心到顶点绘制的线段分成8个相等的等腰三角形。x$的值是多少?

答案的解释:一个点的度数之和是360°。因为这8个三角形全等,所以这8个角的度数是相等的。因此,每一个的度量是${360°}/{8}=45°$。任何三角形的内角都是180度。所以在每个三角形中,剩下两个角的度数之和是180°-45°=135°$。因为这两个三角形是等腰三角形,所以这两个角的度数是相等的。因此,每个角的度数是${135°}/{2}=67.5°$。

2.

body_triaques10.png.

注:图不是按比例绘制的。

在三角形ABC中,$AB=AC$, E是$\ov{AB}$的中点,D是$\ov{AC}$的中点。如果$AE = x$, and $ED = 4$,则$\ov{BC}$的长度是多少?

(一)6

(B) 8

(C) 2 x美元

(D) 4 x美元

答案的解释:和往常一样,让我们先填入已知的信息。

body_example_3_tri_1.png

现在,虽然看起来可能不像,但我们知道E是直线AB的中点,这意味着,如果分段AE值x美元,那么分段EB也值x美元。这也意味着整个AB的值为$x+x=2x$。

我们来建立一个比例。

腿部AE将成为其基础,因为腿部AB将成为其基地,BC。所以:

$$ {ae} / {ed}:{ab} / {bc} $$

$ $ {x} / {4}: {2 x} /{公元前}$ $

$ $ 8 x = BCx $ $

公元前8美元=美元美元

最终答案是B BC = 8。

3.

body_triaques9.png

注:图不是按比例绘制的。

上面显示了两个等腰三角形。如果$180−x=3y$, $y=20$, z的值是多少?

答案的解释:既然题目告诉你$180−x=3y$和$y=20$,那么$180−x=3y=60$,解出来得到$x=120$。如果$x=120$,则右边等腰三角形的每个底角都是30°(${180−120}/{2}$)。因此,标记为$z°$的角度为$180°−30°=150°$,因此z的值为150。答案是150。

body_relax - 1. - jpg

我们觉得你该休息一下了,不是吗?

停产

三角形将出现,没有失败,每一个SAT至少几次(通常在约1到3个问题中)。好消息是,您将获得多种公式来帮助您通过这些类型的问题,但缺点是测试是定时的,因此如果您全部缺乏选项,您只能浪费时间到公式框。

了解您的定义,尽量记住您的公式,并尽可能地通过测试时保持清晰的头部。而且,一如既往,练习,练习,练习!您在解决各种三角形问题的体验越多,坐着可以想到你面前的三角形,更好的休息,你将杀死那些三角形问题。

接下来是什么?

现在你已经完成了你的三角步,是时候确保你准备好了所有的数学主题你会在坐在周边看到。我们所有的数学指导会带你通过策略和练习题的所有主题涵盖在数学部分,从整数, 至比率多边形(和更多!)。

对测试日感到焦虑吗?确保你知道具体要做什么和带什么让你在参加SAT考试前放松心情,消除紧张情绪。

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考特尼蒙哥马利
关于作者

考特尼高中时的SAT成绩是第99百分位,后来从斯坦福大学毕业,获得了文化与社会人类学学位。她热衷于将教育和成功的工具带给来自不同背景和各行各业的学生,因为她相信开放教育是伟大的社会平等者之一。她有多年的家教经验,并在空闲时间创作作品。



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