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SAT数学方程式系统:代数准备和练习

张贴了 考特尼蒙哥马利| 2019年1月6日下午1:26:00

坐了数学

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当然,你已经完成了你的步伐单个变量方程现在他们没问题,但是当你一次呈现多个方程和多个变量时,你会怎么做?这些是我们称之为“方程式”,幸运的是,它们是极度可预测的问题,具有解决它们的多种方法。根据您希望最佳工作的方式,您可以在涉及等式问题的系统方面基本上选择自己的冒险。

但在您选择适合您(或个人问题)的方法之前,让我们看看您提供的所有各种选项以及您将看到测试日的问题类型。这些问题将始终在任何特定的测试中显示一次或两次,因此最好了解您所需的所有策略。

这将是您对等式问题系统的完整指南- 他们是什么,解决它们的许多不同方式,以及你将如何在饱于饱食状态。

什么是方程式系统?

等式系统是一组两个(或更多)的等式,其具有两个(或更多个)变量。等式彼此依赖,可以解决只要使用每个提供的信息。

饱和时间的大部分时间,您将看到一个涉及两个方程和两个变量的方程式系统,但您肯定不会在任何数量的组合中看到三个方程和/或三个变量。

等式系统也可以以多种方式解决。与SAT一样,您选择如何解决您的问题,大多数情况都取决于您如何努力工作,以及您可以致力于致力于此问题的时间。

解决方程式问题的三种方法是:

#1:图形
#2: 代换
#3:减法

让我们查看每种方法,并通过使用与示例相同的方程系统在操作中看到它们。

为了我们的例子,让我们说我们给定的方程系统是:

$$ 2Y + 3x = 38 $$

$$y - 2x = 12$$

解决方法1:绘图

只会有一个方程式的解决方案,并且一个解决方案将是两条线的交叉点。为了绘制我们的等式,我们必须首先将每个方程放入斜率截取表单中。如果你熟悉线条和斜坡,您知道斜率拦截表单看起来像:

$ y = mx + b $

所以让我们把我们的两个方程放入斜坡拦截形式。

$ 2Y + 3x = 38 $

$ 2Y = -3x + 38 $

$ y = {-3/2} x + 19 $

$ y - 2x = 12 $

$ y = 2x + 12 $

现在让我们绘制每个等式以找到他们的交点。

body_graph_example.

一旦我们绘制了我们的等式,我们就可以看到交叉点在(2,16)。

所以我们的最终结果是:$ x = 2 $和$ y = 16 $

解决方法2:替换

为了用代换法求解方程组,我们必须在其中一个方程中分离出一个变量,然后用所找到的变量第二方程来解剩下的变量。

例如,我们有两个等式,

$ 2Y + 3x = 38 $

$ y - 2x = 12 $

所以让我们选择一个等式,然后隔离其中一个变量。

在本例中,让我们选择第二个方程并分离出$y$的值。

$ y - 2x = 12 $

$ y = 2x + 12 $

接下来,我们必须把找到的变量代入第二个方程。(在本例中,因为我们使用了第二方程来分离y$,我们需要把y$的值代入第一的方程)。

$ 2Y + 3x = 38 $

$ 2(2x + 12)+ 3x = 38 $

$ 4x + 24 + 3x = 38 $

$ 24 + 7x = 38 $

7 x = 14美元

$ x = 2 $

最后,你可以找到数号通过将第二个变量($x$)的数值代入任意一个方程,可以得到第一个变量($y$)的值。

$ 2Y + 3x = 38 $

$ 2Y + 3(2)= 38 $

$ 2Y + 6 = 38 $

$ 2Y = 32 $

$ y = 16 $

$ y - 2x = 12 $

$ y - 2(2)= 12 $

$ y - 4 = 12 $

$ y = 16 $

无论哪种方式,您都找到了$ x $和$ y $的值。

再次,$ x = 2 $和$ y = 16 $

解法三:减法

作为解决方程式系统的最后一种方法,您可以完全减去一个变量,以便找到第二变量的值。我们通过从另一个完整的等式中减去整个方程中的一个来执行此操作。

请注意,如果有问题的变量(您希望消除的那个)是这样的,您只能执行此操作完全相同的.如果它们不相同,那么我们必须先把整个方程乘以必要的量以便使他们是一样的。

在我们两个方程的情况下,我们的变量都不是平等。

$ 2Y + 3x = 38 $

$ y - 2x = 12 $

在这种情况下,让我们决定减去我们的$ y $值并取消它们。这意味着我们必须先制作它们平等的通过将第二个方程乘以2,使$y$的值匹配。

$ 2Y + 3x = 38 $

$ y - 2x = 12 $

成为:

$2y + 3x = 38$(第一个方程不变)

$ 2(y - 2x = 12)$ => $ 2y - 4x = 24 $(整个方程式乘以2)

现在我们可以消去$y$的值用第一个方程减去整个第二个方程。

$ 2Y + 3x = 38 $

-

$ 2Y - 4x = 24 $

--------------------

$ 3x - -4x = 14 $

7 x = 14美元

$ x = 2 $

现在我们已经孤立了我们的$ x $ value,我们可以将其插入我们的两个方程中的任何一个,以找到我们的$ y $ value。

$ 2Y + 3x = 38 $

$ 2Y + 3(2)= 38 $

$ 2Y + 6 = 38 $

$ 2Y = 32 $

$ y = 16 $

$ y - 2x = 12 $

$ y - 2(2)= 12 $

$ y - 4 = 12 $

$ y = 16 $

最终结果还是$x = 2$ y = 16$。

body_information_overload

虽然有很多方法可以解决你的问题,但不要让这种知识压倒你;通过练习,您将为您找到最好的解决方法。

无论我们用哪种方法解决我们的问题,就有一个方程式将有一个解决方案- EAGENTING,每个变量都有一个附加数值 -没有解决方案或无限解决方案

为了使方程系统具有无穷解决方案,每个系统实际上是相同的。这意味着他们是相同的线。

为了使方程系统具有解决方案,当$ y $值设置为1时,$ x $值将相等(这意味着两个都变量 - $ x $和$ y $ -will等于)。原因这是真的是它将导致两条平行线,因为线条将具有相同的斜坡.系统没有解决方案,因为两条线永远不会满足,因此没有交叉点。

例如,

body_sat_systems_5.

因为我们的系统在我们的$ y $值和我们的$ x $值时都没有解决方案平等的,这意味着我们不会通过取消它们来消除我们的变量来消除我们的变量。

在这种情况下,对此问题的最有利的解决方案将减法。为什么?我们可以看到这一点,因为两个$ x $的值($ 2x $和$ 4x $)是彼此的倍数,所以我们可以轻松地乘以一个等式,以便等于它们。

$2x - 5y = 8$

$ 4x + ky = 17 $

现在,让我们乘以顶级方程,以便等于我们的$ x $值。所以系统对,

$ 2(2x - 5y = 8)$

$ 4x + ky = 17 $

成为,

$ 4x - 10Y = 16)$

-

$ 4x + ky = 17 $

----------------------

$ -10y - ky = -1 $

为了没有解决方案,我们的两个$ Y $ V值必须达到零。因此,让我们将两个$ y $的值设置为彼此等于:

$ -10y - ky = 0 $

肯塔基州美元y = 10美元

$ k = -10 $

我们的$ k $%必须对于我们的方程系统没有解决方案,是-10。

我们的最终答案是一个,-10。

[注意:不要被+10的答案骗了!你仍然在减去你的方程组,所以要密切注意你的负号。

此外,如果令人沮丧或令人困惑,试图决定三种解决方法“最好”适合特定问题,请不要担心!你几乎总是能够解方程组的问题,不管你选择哪种方法。

例如,您也可以选择图表这个问题。如果您已经这样做了,您将首先必须将每个方程式放入斜坡拦截表格:

$2x - 5y = 8$

$ 4x + ky = 17 $

$2x - 5y = 8$

$ -5y = -2x + 8 $

$ y = 2/5(x)+ 8 $

$ 4x + ky = 17 $

$ky = -4x + 17$

$ y = {-4 / k}(x)+ 17 $

现在,我们知道一个方程组只有当每个变量都等于0时才没有解,所以我们让两个$x$变量相等以便求出$k$。

$ 2/5(x)= {-4 / k}(x)$

$ 2/5 = {-4} / k $

$ {2k} / 5 = -4 $

$ 2k = -20 $

$ k = -10 $

同样,$k$的值是-10。

我们的最终答案是一个,-10。

正如您所见,从来没有任何“最佳”方法来解决方程问题的系统,只有求解对您最吸引的方法。


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所有道路都通往罗马,因此不要试图找到系统问题的“正确”解决方法来强调自己。

典型方程组问题

SAT的大多数方程组问题都会通过在问题中明确地使用“方程组”这个词来让你知道它是方程组。

body_sat_systems_3.

(我们将通过如何在指南中稍后解决这个问题)

其他问题将简单地向您呈现具有常见变量的多个方程,并要求您找到一个变量的值,甚至可以组合变量(例如$ x + y $或$ x - y的值$)。

body_sat_systems_1.

(我们将通过如何在指南中稍后解决这个问题)

最后,最后一类方程组的问题要求你求一个没有解的变量的数值,就像前面的例子一样。

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解决方程问题系统的策略

所有方程式问题的问题都可以通过我们上面概述的相同方法来解决,但是您可以使用额外的策略来解决您最准确且有利地解决您的问题。

#1:开始,找到已经孤立的变量

最终目标是找到所有变量的值,但我们只能通过找到一个变量来开始使用它。解决这个变量的最简单方法(或消除)具有最少系数的变量或看似最孤立的变量。

例如,

$5x - 3y = -13$

$ 2x + y = 19 $

如果我们正在使用替代,我们最容易在我们的第二方程式中排除$ y $值。它已经是最孤立的变量,因为它没有任何系数,因此在我们在第一个等式中更换其值,我们不必处理分数。

另一方面,如果我们使用减法,它仍然最好地瞄准并消除我们的$ y $值。为什么?因为我们有3Y $和$ y $,这意味着我们只需要将第二个等式乘以3才能匹配我们的$ y $值。如果我们要瞄准并消除我们的$ x $值,我们将不得不乘以两个都等式——第一个是2,第二个是5——以便使$x$值匹配。

虽然您可以随时发现您的解决方案,但无论您选择哪些变量都孤立或消除,它总是很高兴通过首先为简单的挑选而拯救自己的时间,能量和麻烦(更不用说避免可能的错误)。

#2:练习所有三种解决方法,看看哪种方法最舒适

决定哪种式求解方法诉讼系统的最佳方式最好的是练习多个问题(尽管如果您可以舒适使用,但它将有助于您的灵活性全部求解方法可用,即使一个或两个适合您比另一个人更好)。

当您在系统问题上测试自己时,尝试使用多种方法解决每个方法,以便查看哪一个对您最舒适。

#3:使用减法要求查找超过一个变量的问题

大多数“多变量解”方程组的问题会要求你找到$x + y$或$x - y$,这几乎总是最容易通过减法找到。

在我们有时,使用减法方法也是最有用的三个或多个变量,特别是当它是多个变量和三个或更多变量的组合时。

我们将在下一节中看到这种问题。



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测试你的知识

现在让我们测试您的真实SAT数学问题的等式知识系统。

1.

body_sat_systems_3-1

2.

body_sat_systems_1-1

3.

body_sat_systems_4.

答案:300,E,12

答案解释:

1.正如我们在我们的策略部分所概述的那样,通过使用减法方法,几乎​​总是最容易找到多变量的值(但是,再次,它不是只要办法)。

我们不过有一些限制,因为我们有三个变量,只有两个方程。为什么这很重要?我们可以找到每个变量的值如果我们有相同数量的方程和变量,但在这种情况下我们没有。这意味着我们需要使用给我们$x + y$的解决方案,因为我们无法单独找到$x$或$y$的值。

所以让我们使用减法。

为此,我们必须像变量一样减去,幸运的是,两个方程都有一个单一的$ x + y $ value。这意味着我们可以隔离我们的变量$ z $。

$ x + y + 3z = 600 $

$x + y + z = 400

把它们相减。

$ x + y + 3z = 600 $

-

$x + y + z = 400

-------------------------

$ 2z = 200 $

$ z = 100 $

现在我们有$ z $的值,我们可以在任何一个方程中替换它,以找到$ x + y $的值。

因为它总是最容易使用最孤立的变量(对我们涉及的数学较少!),让我们我们的第二方程插入我们的$ z $的价值。

$x + y + z = 400

$ x + y + 100 = 400 $

$ x + y = 300 $

我们的最终答案为$ x + y $ 300。

但是,请注意,如果您更喜欢使用替换,那么您肯定可以这样做。

因为我们试图找到$ x + y $,所以让我们在我们的一个方程中将其作为我们想要的变量隔离。

$ x + y + 3z = 600 $

$x + y + z = 400

我们用第一个方程。

$ x + y + 3z = 600 $

$ x + y = 600 - 3z $

现在我们可以把x美元+ y美元的价值代入第二个方程。

$x + y + z = 400

$(600-3z)+ z = 400 $

$ 600 - 2z = 400 $

$ -2z = -200 $

$ z = 100 $

现在我们已经找到了我们的价值$ z $,我们可以将其插入任一条形以找到数号为我们的$ x + y $的价值。

让我们使用第二方程来这样做。为什么第二个?因为每个值已经是最孤立的,所以最容易使用,但每个问题都将以任何一种方式工作。

$x + y + z = 400

$ x + y + 100 = 400 $

$ x + y = 300 $

再次,我们的最终答案是$ x + y = 300 $

正如您所看到的,任何方法都适合您 - 它只是取决于您喜欢的工作方式。

2.再次,虽然不是只要解决我们问题的方法,当我们在我们的方程中有三个或更多变量或我们正试图找到变量的组合时,最容易使用减法(在这种情况下,$ y + z $的值)。在这种情况下,我们都有两者,所以让我们使用减法。

$ 3x + 2Y + 2z = 19 $

$ 3x + y + z = 14 $

我们的$ x $的值是相同的,因此让我们只需从第一个中减去第二个等式。

$ 3x + 2Y + 2z = 19 $

-

$ 3x + y + z = 14 $

---------------------------

$ y + z = 5 $

我们的最终答案是e$y + z = 5$

3.在这种情况下,让我们使用替换方法,以便将其中一个值隔离并将其插入我们系统中的其他方程之一。

我们得到的方程是:

$ x = 3v $

t v = 4美元

$ x = pt $

$v$已经是孤立的了,我们把它代回第一个方程。

t v = 4美元

$ x = 3v $

$ x = 3(4t)$

$ x = 12t $

现在,我们是告诉x = pt $,所以我们可以等同于两个表达式。

$ x = 12t $

$ x = pt $

$ 12t = pt $

因为12和$ P $两者都充当$ T $的系数(变量前的数字),我们可以看到它们是平等的。

这意味着$ p = 12 $

最终答案是12。


Body_celebatt你做到了!气球和五彩纸屑为你!

停产

如您所见,当涉及解决它们的方法时,方程式是一些最通用的问题(尽管问题本身并不变化)。虽然您可以以各种方式解决SAT的许多问题,但大多数是不太灵活的,因此愿意迎接您有许多选择如何为您的方程式提出问题。

一旦您练习并熟悉这些类型的问题,您将为您的优势找到最佳方法,以及您的时机进行测试。很快,你将能够以多种方式击出方程式的问题,蒙上眼睛,并用手在你的背后(虽然为什么你想要,坦率地,任何人的猜测)。

下一步是什么?

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考特尼蒙哥马利
关于作者

考特尼高中时的SAT成绩是第99百分位,后来从斯坦福大学毕业,获得了文化与社会人类学学位。她热衷于将教育和成功的工具带给来自不同背景和各行各业的学生,因为她相信开放教育是伟大的社会平等者之一。她有多年的家教经验,并在空闲时间创作作品。



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