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SAT三角学:Sohcahtoa和Radians

张贴了 多拉节目里|2月1日,2020年6:00:00 PM

SAT数学

body_trigintro.png.

三角和弧度是SAT数学部分新增的内容!你喜欢SOHCAHTOA和${π}$角度测量吗?你讨厌三角和弧度,不知道SOHCAHTOA或${π}/{2}$的意思吗?不管你对SAT三角学有什么感觉,都没有必要紧张。在这篇指南中,我将告诉你所有你需要知道的关于SAT数学考试的三角和弧度的知识,并指导你通过一些练习问题。

三角公式:正弦,余弦,正切

虽然三角学弥补了不到所有数学问题的5%如果你不知道下面的公式,你将无法正确地回答任何三角问题:

body_trig1.png

找到s已知三角形的边长。

$ $ \ sin (x) ={\(测量\ \::\ \恰恰相反:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:斜边)}$ $

在上图中,标注角度的正弦值为${a}/{h}$

找到余弦已知三角形的边长。

$ $ \ cos (x) ={\(测量\ \::\:相邻\:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:斜边)}$ $

在上图中,标记角度的余弦将是$ {b} / {h} $。

找到角切割已知三角形的边长。

$ $ \ tan (x) ={\(测量\ \::\ \恰恰相反:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:相邻\:\::\ \:角)}$ $

在上图中,标记角的切线将是$ {a} / {b} $。

有用的记忆戏法是缩写:Sohcahtoa。

S.ine等于O.ppositeHypotenuse

C奥斯汀等于一种大居Hypotenuse

T.天真等于O.pposite一种djacent

你也应该知道互补角度的关系对于正弦和余弦,这是$ \ sin(x°)= \ cos(90°-x°)$。

如何在SAT数学中运用三角函数技巧

两种主要三角术问题类型你会在测试中看到。我会教你如何解决每个问题。

问题类型1题目会要求你求出正弦,余弦,或正切,并使用三角形边长的长度。为了回答这些问题,你将需要使用一个图表(这意味着如果没有给你一个图表)。让我们浏览一下这个例子:

三角形ABC是一个正确的三角形,角度B测量90°;斜边是5个,侧面是4.什么是余弦a?

首先,使用给定的信息建立这个三角形:

body_tri1.png.

然后,确定所需的信息。在这种情况下,问题要求余弦A.我们知道,基于以前的公式,即$ \ cos(a)= {\(measure \:\:\:acking \:side \:to \:the\:角度)} / {\(measure \:\:\:hypotenuse)} $。识别所需的件:角度,相邻的角度,和斜边:

body_tri3.png.我们有了我们需要的所有信息,所以我们只需要把它代入公式:

$ \ cos(a)= {\(measure \:\:\:ack \:side \:to \:\:角度)} / {\(measure \:\:\:hypotenuse)}= {4} / {5} $。

$ {4} / {5} $是答案。

这个问题稍微难一点可能会问你的正弦A而不是余弦A.如果你回顾图,你会注意到,我们不知道角度A的相反侧的度量是什么(这是我们需要找到正弦的东西)。

body_tri4.png

在这种情况下,我们需要使用Pythagorean定理(或我们的知识为3-4-5右三角形)以找到角度A(BC)的相反侧的测量。

$$ bc =√{(5 ^ 2) - (4 ^ 2)} =√{(25) - (16)} =√{9} = 3 $$

知道我们知道侧面BC是3,我们只需要将它放入公式中:

$ $ \罪(A) ={\(测量\ \::\ \恰恰相反:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:斜边)}= {3}/ {5}$ $

问题类型2会要求你用一个不同的给定的角的正弦,余弦,或正切来求一个角的正弦,余弦,或正切。与第一类问题类似,要回答这些问题,你需要使用图表(也就是说,如果没有给你图表,就画一个)。看看这个例子:

在一个正确的ABC三角形中,其中B是直角,$ \ cos(a)= {4} / {5} $。什么是罪(c)?

您希望通过绘制图表来解决这些问题,但首先您需要弄清楚应该放在哪里。用余弦公式来算出怎么画这个图。

$ $ \ cos (A) ={\(测量\ \::\:相邻\:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:斜边)}= {4}/ {5}$ $

邻近侧面(ab)= 4

斜边(AC) = 5

body_tri3.png.

你可能注意到这和前面的例子是同一个三角形。在本例中,我们想要找到cos C。根据前面的公式,$\sin(C)={度量对边到角}/{度量斜边}$。确定你需要的部分:角,角的邻边和斜边。

$$ \ sin(c)= {\(measure \:\:\ \:leid \:side \:to \:\:角度)} / {\(measure \:\:\:ypotenuse)} = {4} / {5} $$

$ {4} / {5} $是答案。

这个问题稍微难一点可能会问你的切线c而不是正弦c.如果你回顾图,你会注意到,我们不知道相邻一侧到角度c的测量是什么(这就是我们需要找到tan a的东西)。

body_tri5.png.

在这种情况下,我们需要使用勾股定理(或我们对3-4-5直角三角形的了解)来求角C (BC)的邻边的长度。

$$ bc =√{(5 ^ 2) - (4 ^ 2)} =√{(25) - (16)} =√{9} = 3 $$

知道我们知道侧面BC是3,我们只需要将它放入公式中:

$$ \ tan(c)= {\(measure \:\:\:对面\:侧\:\:\:角度)} / {\(measure \:\:\:\ acking \:侧\:到\:\:角度)} = {4} / {3} $$

现在我们知道了如何应用这些公式来解决三角问题,让我们试着把它们应用到一些实际的SAT习题中。

SAT三角学练习题

示例#1

body_trigquest1.png.

答案解释:三角形ABC是一个直角三角形,它的直角在b处。因此,AC是直角三角形ABC的斜边,AB和BC是直角三角形ABC的边。根据勾股定理,

$$ ab =√(202) - (162)=√(400) - (256)=√144= 12 $$

由于三角形DEF类似于三角形ABC,并且具有对应于顶点C的顶点F,因此角度f的度量等于角度C的度量。因此,$ \ SINF = \ SING $。从三角形ABC的侧面长度,$ \ sin c = {\(measure \:\:\:对比\:侧\:to \:\:角度)} / {\(measure \:\:\:hypotenuse)} = {\ ab} / {\ ac} = {12} / {20} = {3} / {5} $。因此,$ \ sinf = {3} / {5} $。

最终的答案是${3}/{5}$或。6。



示例#2

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答案解释:有两种方法可以解决这个问题。更快的方法是如果你知道正弦和余弦的余角关系,即$\sin(x°)=\cos(90°−x°)$。因此,$\cos(90°−x°)={4}/{5}$或0.8。

然而,您也可以通过使用给定的信息构造一个图来解决这个问题。这是一个直角三角形(必须使用正弦/余弦),角x的正弦值为${4}/{5}$,如果$\sin ={\(对边)}/{\斜边}$,则对边为4,斜边为5:

body_trigquest2answer.png.

由于三角形的两个角度测量X°和90°,因此第三个角度必须具有180°-90°-x°= 90°-x°$的测量值。从图中,$ \ cos(90°-x°)$,它等于$ {相邻\:side} / {the \:hypotenuse} $,也是$ {4} / {5} $或0.8。


示例#3

body_trigquest3.png.

答案解释:类似于另一个三角问题,有两种方法来解决这个问题。

更快的方法是意识到X和Y是互补角度(最多增加90°)。然后,使用正弦和余弦的互补角关系,这是$ \ sin(x°)= \ cos(90°-x°)$,您意识到$ \ cos(y°)= 0.6 $。

然而,您也可以通过使用给定的信息构造一个图来解决这个问题。这是个直角三角形(必须用正弦/余弦函数)角x的正弦值是0。6。因此,x度角的对边与斜边之比是。6。

body_trigquest3answer.png

与X°角相对的一侧是与Y°角相邻的侧面。$ \ cos(y°)= {\(the \:side \:acking \:to \:to \:\:y°\:角度)} / {\(\(\:hypotenuse)} = {6} / {10$,等于.6。

答案是0。6。

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弧度

弧度将会仅占SAT数学问题的小部分(约5%),但你还是想答对这些问题!弧度是一个比较复杂的概念。关于弧度你需要知道什么?

弧度措施的定义

基本定义:弧度是角度的度量(正如度是角度的度量)。

深入/概念版本:弧度是基于弧的长度的角度的度量,该角度截取在单位圆上的角度截距。这听起来像是我知道的怪异。让我打破它。单位圆是一个半径为1个单元的圆圈。看图片:

body_unitcircle.png

Gustavb /Wikimedia

这个单位圆的周长为${2π}$,因为${C=2πr}$, r=1。

如果一个角度的度量为360°,则弧度措施将是$ {2π} $,因为单元圆上的360°角截距的弧度的长度将是圆圈的整个圆周(我们已经建立的是$ {2π} $)。以下是一些良好的基本弧度措施记忆:

程度
弧度
(精确的)
704
${π}/ {6}$
45°
$ {π} / {4} $
60°
${π}/ {3}$
90°
${π}/ {2}$



如何在度数和弧度的角度测量之间转换

从度数到弧度,你需要乘以${π}$,再除以180度。下面是如何将90°转换为弧度:

$ ${90°π}/{180°}$ $

$ $ ={π}/ {2}$ $

从弧度到角度,您需要乘以180°,除以$ {π} $。以下是如何将$ {π} / {4} $转换为度:

$$ {({π} / {4})(180°)} / {π} $$

$$ = {({180°π} / {4})/ {π} $$

$$ = 45°$$

如何在基准角度测量下评估三角函数

基准角度措施(如学院板所定义)为0,$ {π} / {6} $,$ {π} / {4} $,$ {π} / {3} $,$ {π} /{2} $弧度等于角度测量0°,30°,45°,60°和90°。

您需要能够使用以下三角学部分(正弦,余弦和切线)中描述的三角函数来使用这些功能。将不得要求您需要计算器的三角函数的值。

请记住,sin和cos的余角关系,即$\sin(x°)=\cos(90°−x°)$,在转换成弧度时将是$\sin(x)=\cos({π}/{2}−x)$。

八边形田径练习问题

示例#1

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答案解释:正确的答案是6.通过距离公式,RADIUS OA的长度为$√{((√3)^ 2)+(1 ^ 2)} =√{3 + 1} =√{4} = 2 $。因此,$ \ sin(∠aob)= {1} / {2} $。

因此,∠AOB的∠角为30°,就等于$30({π}/{180})={π}/{6}$弧度。因此,a的值是6。

示例#2

body_rad2.png

答案解释:围绕点的完全旋转为360°或$ {2π} $弧度。由于中央角度AOB有{5π} / {4} $弧度,它代表点o的$ / {2π} = {5} / {8} $左右完全旋转。因此,由中心角形成的扇区AOB具有等于$ {5} / {8}的区域。答案是$ {5} / {8} $或十进制表格.625。


示例#3

下列哪项等价于$\cos({3π}/{10})$?

美元)\ cos({π}/{5})美元
b)$ \ sin({7π} / {10})$
c)$ \ - sin({π} / {5})$
d)$ \ sin({π} / {5})$

答案解释:要正确回答这个问题,你需要同时理解三角和弧度。正弦和余弦通过公式$\sin(x)=\cos({π}/{2}-x)$关联。

为了找出与$ \ cos({3π} / {10})$的相同,您需要将$ {3π} / {10} $更改为表单$ {π} / {2} -x$。为此,您需要设置一个等式:

$ ${3π}/{10}={π}/ {2}- x $ $

然后解出x。

$$ {3π} / {10} - {π} / {2} = - x $$

$$ {3π} / {10} - {5π} / {10} = - x $$

$$ - {2π} / {10} = - x $$

$$ {2π} / {10} = x $$

$$ {π} / {5} = x $$

因此,美元\ cos({3π}/ {10})= \ cos({π}/{2}-{π}/ {5})= \ sin({π}/{5})美元。D是正确答案。

在SAT三角地区测试自己!

练习#1

在三角形DCE中,角C的度数是90°,$\DC=5$, $\CE=12$。$\sin(D)$的价值是多少?

练习#2

在直角三角形中,$\cos({π}/{2}-x)={6}/{8}$。\ sin (x)美元是什么?

练习#3

在Circle O中,中央角度AOB具有$ {3π} / {4} $弧度的度量。中央角度AOB形成的扇区面积是圆面积的一部分?

答案:#1:$ {12} / {13} $,#2:$ {6} / {8} $,3)$ {3} / {8} $

接下来是什么?

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多拉节目里
关于作者

作为SAT / ACT导师,DORA引导了许多学生来测试准备成功。她喜欢看学生成功,致力于帮助你到达那里。DORA收到了南加利福尼亚大学的全学习奖学金。她毕业的Magna Cum Laude并在第99百分位数上得分。她也热衷于表演,写作和摄影。



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