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代入数字:SAT/ACT数学的关键策略

发布的 考特尼蒙哥马利|2015年7月14日上午9:00:00

法数学SAT数学

body_jigsaw.jpg.正如我们在数学策略文章中提到的插入的答案SAT和ACT都不适用如何你到了答案。关于标准化测试,所有重要的是您的答案是否正确。在标准化测试中没有部分信用,没有人看着你的肩膀,看看你是否解决了“适当的”方式。

这意味着找到正确的答案——不管过程如何——是唯一重要的事情。你可以使用很多捷径来找到正确的答案,而不需要创建和解决复杂的方程。这篇指南将带领你通过插入你自己的数字的策略,这是解决几种不同的标准化数学问题的最简单的方法之一。

在本指南中,我们将为您提供完整的步行,以便为数学问题插入自己的数字(PIN)。我们会讲为什么,怎么做,最重要的是,wh使用PIN标准化测试,以及带您通过几个真实的SAT和行动练习问题。解决问题的其他最佳策略 -插入答案- 在一个单独的指南中覆盖。


为什么使用堵塞数字?

有时你可能会发现自己面临着一个你不知道如何处理的问题。有时你可能会觉得用代数方法解决这个问题太费时了。其他时候,你可能会在一个问题中得到很多不同的变量你绝对想要确定你得到了正确的解。当这种情况发生时,输入你自己的数字通常可以帮助你得到正确的答案。

面对一个带有多个变量的问题或答案会让你感到害怕,特别是当你的时间非常紧张的时候。但如果你用实数代替xy一个k(或任何其他变量),它可以使以前模糊的问题变成一个非常简单的问题。用数字代替变量可以使理论性更强的问题变得更实际,更容易形象化,这将使您更容易地解决它们。

例如,

body_question_PIN_20.png

(我们将通过如何在下一节解决这个问题)

在考试的时候很容易忘记用自己的数字替换变量的能力。所以记住要放松,要知道通过复杂的代数解题并不是你唯一的选择;您还有其他可用的方法,它们通常更容易使用。

body_magic_fight.jpg
在与标准化测试斗争时,利用你所拥有的所有优势。

如何使用插入数字

现在你知道了为什么代入数字可以派上用场,让我们仔细看一下如何去做吧。

代入自己的数字的基本思想是用实数代替变量或未知数。该技术可以适用于任何问题 - 代数或几何形状 - 您将呈现有几个未知数或变量。

判断是否可以在一个问题上使用密码的最好方法是查看问题、答案选择,或者两者都涉及变量。当问题和/或答案选项包含变量(特别是多个变量)时,您很可能使用PIN。

因为这些问题询问了的关系数字(或物体或度数等)之间,这些关系将是不变,不管用的是什么数字。只要你的数字遵循问题中给出的规则,那么你就可以用你自己的数字找到正确的答案。

然后,一旦你选择了一个数字来表示一个变量,用这个数字来解原始方程。然后使用您为原始变量选择的数字来替换您的答案选项中的相同变量。通过这样做,你可以测试你的答案选项,看看当你代入自己的数字时,哪些选项与你原来的方程的结果相符。

如果这对你来说没有任何意义,也不要担心。我们将使用一个实际的数学问题例子来分解这些步骤:

body_question_pin_20 - 1. - png

我们被告知上面描述的数学关系所有的数字$ x,y,&z $。这意味着我们被允许选择您想要的任何数字,我们想要的$ x,y,&z $,因为任何和所有数字都必须工作。

我们有多个变量和复杂的一系列方程。让我们让自己更轻松地让每个变量给出一个数字。让我们这么说:

$ x = 2 $

y = 3美元

z = 4美元

现在,让我们根据已知的规则来解题看看方程是否相等。

第一个是:

(x⊕y = y⊕x$

让我们首先取出方程的左半部分,并用数字替换变量。

$ x⊕y $

2⊕3美元

好吧,根据我们的规则,这将是:

⊕3 = (2)(3)+ 2 + 3$

11美元

方程的左半部分是11。现在我们来看看右半部分是否相等。

y⊕x美元

$ 3⊕2=(2)(3)+ 3 + 2 $

11美元

两边都等于11,所以选项I是正确的。这意味着我们可以排除选项B和C。

现在我们来试试选项II,用同样的数字表示变量。

⊕(x + 1) = (x⊕x) - 1$ (x - 1)⊕(x + 1

再一次,我们先取方程的左边。

⊕(x + 1)$ (x -1

⊕(2 + 1)$ (2 + 1

$ 1⊕3 $

⊕3 = (1)(3)+ 1 + 3$

7美元

所以方程的前半部分等于7。现在我们看看右半边是否相等。

$(x⊕x) - 1 $

$(2÷2) - 1 =((2)(2)+ 2 + 2) - 1 $

7美元

双方等于7,所以选项II是正确的。我们可以消除答案选择A.

最后,我们来检验最后一个方程。

$x⊕(y + z) = (x⊕y) + (x⊕z)$

看着等式的左侧,我们有:

2⊕(3 + 4)$

$2¼7$

$2¼7=(2)(7)+ 2 + 7 $

$ 23 $

方程左边等于23。现在让我们测试右边,看看是否匹配。

$(x⊕y) + (x⊕z)$

⊕3 =(2)(3)+ 2 + 3$(2⊕3

11美元

⊕4 = (2)(4)+ 2 + 4$

$ 14 $

我们被告知要把两者加在一起,这让我们得到:

$11 + 14 = 25$

方程的左半边是23,右半边是25。这两个表达式不相等,所以选项III不正确。

这表示最终答案是D, I和II是对于$x, y,和z$的所有值的唯一正确的方程。

同样,对于这个问题,我们可以选择我们自己的所有数字,但不是所有情况都是这样。

当您有余地为多个(或所有)变量选择您自己的数字时,以及当您必须为一个变量选择一个数字并解出其余的时,请始终注意。之所以允许我们为上面的每个变量选择数字是因为题目告诉我们方程是正确的所有的数字.这意味着我们选择的任何数字遵循问题所概述的规则。

你将能够知道什么时候可以为多个变量代入数字,因为这个问题会明确地告诉你,“所有数字”或“所有整数”必须代替你的变量。这让你可以自由选择数字而不受惩罚。如果你没有看到“所有数字”或“所有整数”在问题中,那么你可以只使用自己的数字为一个变量,并解决其余的。这将保持变量遵循它们定义的规则,并保持它们之间的关系不变。

现在让我们看一个问题,我们不能为每个变量选择自己的数字:

body_pin_2.png因为我们没有被告知这个问题适用于“所有数字”,我们知道我们必须为一个变量选择我们自己的数字,然后解出其余的。

在这个问题中,我选择用自己的号码替换$ v $。为什么$ v $?因为$ V $显示在中间方程中,因此对于查找其他变量也很有用。

我们也可以看到$ v = 4t $,所以让我们给出5美元可分开的数字。(注意:我们不必将$ V $ Divelis Difible Divelis Divelis Dives 4即将其分开,但它使我们的生活变得更加容易这意味着我们将处理整数而不是小数。)

所以让我们说$ v = 8 $。如果我们用数字8替换每次$ 8,我们的第一个等式也会如下:

$ x = 3 v $

$ x = 3美元(8)

$ x = 24美元

现在我们知道,当$v = 8时,$x = 24。现在来看第二个方程:

t v = 4美元

8美元= 4元新台币

$ t = 2 $

因此,当$x = 24$和$v = 8$时,$t$将是2。

最后,让我们看看最后一个方程,用我们新发现的数字表示$x$和$t$。

$ x = pt $

24美元= p(2)美元

p = 12美元

所以$p$等于12。

但是等等!也许你认为$p$只在这个例子中等于12如果我们为$v$选择一个不同的数它会等于别的数。我们来测试一下。

假设$v = 20,而不是8。

$ x = 3 v $

$ x = 3(20)$

$ x = 60 $

和我们的第二方程式:

t v = 4美元

20美元= 4元新台币

$ t = 5 $

最后,我们的最后一个等式:

$ x = pt $

= p(5) $ 60美元

p = 12美元

正如您所看到的,无论我们选择哪个值,我们的变量是什么,只要我们保持变量完好无损之间的关系,您将始终等于12。

所以最终答案是12,$ p = 12 $

body_decoder_ring.jpg
使用PIN可以像拥有自己的个人解码器环。

提示和窍门的密码

既然你知道PIN如何工作,您可以使用这些提示为您的行为和SAT数学问题使用这些提示来更快,准确地使用它:

提示1)使用引脚时,即使在其中一个答案与您所获得的原始方程式匹配之后,您的最佳选择是测试每个和每个答案选择。

我们为什么要这样做?因为有时当我们选择自己的数字时,我们可以得到多个有效的答案选项。

body_pin_two_digit.png.

假设在这个问题中你随机选择95作为x美元的两位数。如果:

$x = 95$,那么十位的数字$t = 9$,个位数$u = 5$。

我们知道$y$是通过颠倒数字找到的数字,所以当$x = 95$时,$y = 59$。

最后,我们正在寻找$ x -y $的值。使用我们的号码:

$ x - y = 95 - 59 $

$x - y = 36

现在让我们用我们为变量找到的数字来测试我们的答案选项,看看哪一个匹配36。

f $9(t - u)$

9(9 - 5)美元

9(4)美元

$ 36 $

回答F作品!(我们现在也可以排除选项K,因为$36≠0$)。

g $9(u - t)$

9(5 - 9)美元

9美元(-4)美元

美元-36美元

答案G被删除了。

h $9t - u$

9(9) - 5美元

81 - 5美元

$ 76美元

回答选择H已被淘汰。

j $9u - t$

9(5) - 9美元

$ 45 - 9 $

$ 36 $

呃 - 哦!我们发现了36​​岁和j。

当这种情况发生时,我们必须选择一个不同的数字或一组数字,以消除只起作用的答案有时.我们的目标是找到始终和无论如何的答案。

但是现在我们选择了一个不同的数字集,我们必须再次测试每个答案吗?不!我们已经知道g,h和k上次没有工作,所以他们不会是我们的最终答案。再次,我们正在寻找有效的答案每一次.只测试F和J。

而不是$x = 95$,我们设$x = 43$(同样,这个数字完全是随机的,可以是任何你想要的)。

如果$x = 43$,则$t = 4$, $u = 3$。这也意味着$y$,与$x$相反,将是34。

$x - y = 43 - 34$

$x - y = 9

现在我们要找匹配9的选项。我们再一次检验F和J。

f $9(t - u)$

9(4 - 3)美元

9(1)美元

$ 9 $

看起来很适合答案f,但是我们也看看J。

j $9u - t$

$ 9(3) - 4 $

$ 27 - 4 $

$ 23 $

成功!我们现在可以消除答案选择J,并确信F(且仅F)无论我们的价值观为$ x $和$ y $。

所以我们最终的答案是F,9美元(T - U)$

技巧2)在输入你自己的数字时,避免使用数字1或0。

当使用1或0时,很容易得到多个正确答案或非常扭曲的答案,所以最好避免使用它们。

例如,让我们再看看我们看到的第一个问题:

body_question_pin_20 - 1. - png

现在让我们说我们已经说过$ x = 0 $,$ y = 1 $,而$ z = 2 $。为了节省时间,前两个方程仍然是正确的,但现在让我们看看第三个。

$x⊕(y + z) = (x⊕y) + (x⊕z)$

首先,让我们看看等式的左半部分:

⊕(y + z)$

$ 0⊕(1 + 2)$

0⊕3美元

⊕3= (0)(3)+ 0 + 3$

3美元

现在让我们看一下等式的右半部分:

$(x⊕y) + (x⊕z)$

$(x⊕y)$

⊕1 = (0)(1)+ 0 + 1$

$ 1 $

(x⊕z)美元

⊕2 = (0)(2)+ 0 + 2$

2美元

所以当我们把它们加起来,我们得到:

1美元+ 2美元= 3美元

这意味着等式的两侧是相等的,这意味着I,II和III都是正确的。我们已经证明,当我们早些时候我们这样做的问题实际上是不正确的。(记住,答案选择必须有效每一次.)

如果我们使用了0和/或1代替我们的变量,我们将得到错误的问题.我们本可以选择E,但实际上D是正确的。

提示3)在处理百分比时,最好的数字是100或10,因为大多数的百分比问题都需要你去操纵它们。

使用漂亮的整数可以让你的生活更轻松。

艾丽斯多年来一直在收集贝壳。从2009年到2010年,她的收藏增加了30%。从2010年到2012年,她的收藏又增加了20%。但在2014年,她不得不搬走,处理掉了50%的藏品。爱丽丝最初收集的贝壳中有多少是最后的?

  1. 75
  2. 78
  3. One hundred.
  4. 150.
  5. 156.

我们假设,为了一个很好的整数和一个很好的百分数,Alice一开始有100个炮弹。

如果从2009年到2010年,她的收藏增加了30%,那么在2010年,她将拥有100美元+ 100美元(0.3美元)= 130美元的贝壳。

如果从2010年到2012年,她的收藏再增加20%,那么2012年她的收藏将是130美元+ 130(0.2)= 156美元。

现在,她必须处理掉50%(一半)的壳。

$156 - 156(0.5) = 78美元

所以她留下了78个贝壳。而且,由于我们使用100的原始金额,我们不必小提琴查找百分比。我们可以简单地看到她留下了78%的原始收藏品。

所以最终答案是B, 78年。

body_sea_shells.png有一天爱丽丝可能会觉得她有足够多的贝壳了。今天不是那一天。

何时使用堵塞数字

因为最好在使用引脚时测试每个答案选项,所以它通常需要更长时间才能通过单独使用代数来解决问题。有时您可以一目了然地查看所有答案,这将节省时间,但是是否使用PIN将比豁免更加依赖于问题

Body_pin_fast-slow.png

这个问题将是一个缓慢的PIN。如果您不记得如何使用FOIL,并且对整数和变量的乘法和减法规则不清楚,那么可以在这里使用PIN。

但是,如果您对上述数学概念完全舒适,那么只需与您的变量一起使用,并使用PIN省另一个场合。

作为一个演示,看看在这里使用代数有多快:

$(4z + 3)(z - 2)$

$(4z * z)+(4z * -2)+(3 * z)+(3 * -2)$

$4z^2 - 8z + 3z - 6

$4z^2 - 5z - 6

所以你的答案是J

另一方面,看看使用PIN的过程有多慢:

假设z的值是4。

$(4z + 3)(z - 2)$

$(4(4) + 3)(4 - 2)$

(19)(2)美元

$ 38 $

所以我们正在寻找与38匹配的答案选择。

F. $ 4z ^ 2 - 5 $

4(4 ^ 2) - 5美元

64 - 5美元

$ 59美元

选项F太大了,所以我们可以去掉它。我们也可以去掉选项G,因为我们可以看到它是58,它还是太大了。

h $4z^2 - 3z - 5$

$ 4(4 ^ 2) - 3(4) - 5 $

$64 - 12 - 5$

$ 47 $

我们可以消除选项h,因为它仍然太大。

j $4z^2 - 5z - 6$

$ 4(4 ^ 2) - 5(4) - 6 $

$64 - 20 - 6$

$ 38 $

我们找到了一个与原方程相匹配的答案。这可能是我们的正确答案,但是让我们看看选项K来确保没有重复的正确答案。

乍一看,我们可以看出选项K ($4z^2 + 5z - 6$)太大了,因为我们确实是添加20到64.这意味着我们可以舒适地消除它。

所以我们最终的答案是J

虽然我们仍然能够找到答案,但使用密码花费的时间明显更长。

基本上,不要害怕使用密码来帮助你通过考试,但要确保你在最能帮助你的地方使用它,让你在最短的时间内找到正确的答案。

现在让我们看看一个快速的PIN问题。

body_fast_pin.png.

这是一个问题,你可以使用PIN在你的头部。例如,给予$ a $和$ b $少数,然后您可以快速地解决您的答案选择。

让我们说$ a = 2 $和b = 3 $。使用这些数字,我们知道那时$ a - b = 1 $的绝对值。为什么?因为$ a - b $ => $ 2 - 3 = -1 $和绝对值使它们包含在正面上。(有关更多信息,请查看我们的指南到高级整数行为星期六

所以我们可以马上看出F是不正确的,因为它是5。这意味着G也是不正确的,因为它应该是-5。

H是虚数,因为它是负数的平方根。

j将是一个负数。

只有K有意义,我们自己可以看到它是正确的。$-(2 - 3) = +1$,这就是我们想要的答案。

所以我们的最终答案是k

看看我们是如何使用密码更快地解决第二个问题的吧?随着你做越来越多的ACT和SAT数学题,你最好能在考试中凭直觉知道什么时候该用密码(以及什么时候该用代数或完全跳过这道题)。

一般来说,如果你每个部分都有很多空闲时间,那就使用密码吧!它甚至可以节省你回去再次检查你的工作的时间(尽管无论如何,额外确认和再次检查从来没有坏处)。

但是,如果您发现自己按时运行短暂,您可能只想在这些情况下保存PIN:

你找不到解决这个问题的方法没有使用PIN.

如果你完全不知道如何处理一个问题,一定要使用密码!如果你忘记了一个数学规则或等式,你仍然可以用PIN找到答案。通常情况下,如果你可以直接使用你自己的数字来绕开这个问题,你就不需要知道处理多个变量或指数的规则等等。


2)您有足够的业余时间您可以使用额外的别针

如果您通过早期的部分快速准确地快速准确,请继续,让自己在PIN使用时获得额外的秒数。虽然代数解决和PIN解决之间的差异可能不超过30或40秒,但时间可以快速加快。始终确保您正在使用您的时间来获得最佳优势,以获得董事会的最佳积分。

但是,如果你觉得时间不够用了,可以看看我们的文章,看看如何在这两个方面为自己争取额外的时间SAT该法案


3)你想再次检查你的答案

PIN通常可以充当自己的问题双重检查器。这有时有时可以帮助禁用额外的时间针,但并不总是依靠这个。

因为你是通过实数而不是变量来验证答案的,所以你不需要代入更多的数字来确保它有效——你已经知道它有效了!你们都解决了问题,并反复检查以确保它是准确的。


你觉得你可能用代数方法找到了错误的答案

也许你一开始就用代数来回答这个问题,在你觉得自己在某个地方走错了方向之前,你已经做了一半。你可能会把分配题或指数题做错。也许你建立的代数方程给出的答案与任何提供的答案都不接近(或者更糟——也许你找到的答案是正确的了)。

如果涉及多个变量的问题往往会让你出错,这意味着改变你的方法并尝试使用密码可能是个好主意。


这道题的题目范围是你以前犯过几次错误的

如果你参加过SAT或ACT的练习,发现你通常会在一半或四分之三的时候出错,那么在这一部分,把你的策略换成PIN法,而不是代数法,这样可以提高你的分数。

它可能会更慢,但它会更准确,而且你不需要花那么多时间来检查你的工作。

body_hold_em.jpg您使用PIN的练习越多,您就越知道何时何时持有EM(并使用PIN)以及何时行走。

我可以总是使用插入数字吗?

不幸的是,通过插入答案,无法解决一些问题。再次,当问题和/或答案选项包括变量时,你通常可以使用PIN。

但是,如果您的答案使用数字——整数、小数或分数——您最好的选择可能是使用策略插入的答案

大多数问题(尽管不是全部)都可以用这两种策略中的一种来解决。为了展示PIA和PIN可以涵盖的广泛的问题类型,让我们看看真正的SAT和ACT数学问题以及如何使用PIA和PIN来解决它们。

测试您的知识:

1)body_q_pin.png

2)body_q_pin_3.png.

3)Body_pin_with_square.png.

4)

5)body_geo_figure.png在上图中,$z = 50$。x + y$的值是多少?

  1. 90
  2. 130.
  3. 180
  4. 210
  5. 230

答案:A, B, D, E

答案的解释:

1)在第一个问题中,我们处理的是一艘船的成本,每艘船的价格是x美元,分成三份,然后四份。为了让自己更轻松,我们选一个能被3和4整除的数,这样就不用小数了。

假设买一艘船的成本(x美元)是120美元。现在,我们问每个人的成本除以4而不是除以3会少多少。我们用120除以两者,求差值。

120/3 = 40美元

$ 120/4 = 30美元

40元- 30元= 10元

所以,当这艘船的价格是120美元时,如果把费用分成四份而不是三份,每个人可以少付10美元。现在让我们测试我们的答案选项,看哪一个匹配10美元。

答:x / 12美元

120/12 = 10美元

答案A和我们得到的答案相符。但在我们庆祝之前,让我们看看其他的答案,以确保没有重复的正确答案。

选项B和C太大了。如果x美元的数字除以12是完美的,那么同样的数字除以3或4会大得多。

选项e也将是巨大的,远远超过10(因为它是$ x $乘以7),所以也是如此。

我们还可以最终排除选项d。我们只需用$x$值除以12就能得到正确答案。如果我们先乘后除,这个数会大得多。

所以我们的最终答案是一个,$ x / 12 $

2)我们需要找到75%的$ M $,持续25美元的百分比(我们被告知是平等的)。而不是使用小数和分数(并且可能让自己困惑),让我们为k $分配一个数字。

如果我们说,作为一个随机的选择,那就是$ k = 60美元,然后我们发现了25%的60%。

$ 25 * 0.6 = 15美元

我们知道这个数字(15)是$ M $ 75%。所以,要找到$ M $,我们会说:

$ {15 * 100} / 75 = 20 $

所以我们有:

k = 60美元

$ m = 20 $

现在,我们要求$m/k$

20/60 = 1/3美元

所以最终答案是B,1美元/ 3美元

这里,我们需要知道$t$和$t^2$之间的差值。假设$t = 3$。(为什么我们不用2表示$t$?因为,有时候,在平方根问题上使用2会得到重复的正确答案。现在,我们使用3来减少需要重新开始并选择一个不同的数字的可能性,但我们将看看如果我们在问题的最后使用2会发生什么。)

所以,如果$t = 3$,那么$t^2 = 9$

差异,然后,在$ t $和$ t ^ 2 $:

9美元- 3美元= 6美元

所以我们要找一个匹配6的选项。

答案A, B, C都被排除,因为答案C $= t = 3$。

答案D是$t(t - 1)$

3美元美元(3 - 1)

(2) $ 3美元

6美元

答案D是正确的,但是让我们看看答案E来确定D是唯一正确的答案。答案E是$(t - 1)(t + 1)$

$ 3 - 1 (3 + 1)$

(2)(4)美元

8美元

这个不匹配,这意味着D是唯一可能的正确答案。

所以最终答案是D$ t(t - 1)$

(但是如果我们用$t = 2$而不是$t = 3$会发生什么?那么$t^2 = 2^2 = 4$ t^2$和$t$的差值是$4 - 2 = 2$。所以答案B C和D所有是正确的。当发生这种情况时,只需选择不同的数字,就像$ t = 3 $和测试b,c和d。)

PIN既可以用于代数问题,也可以用于几何问题。只要我们选择的数字遵循几何规则,那么我们应该总是能得到正确的答案。

所以这里我们有一个三角形,我们知道一个角度测量($ z = 50 $)。因此,让我们为三角形内部的每个其他角度产生一个值。

如果$z = 50$,那么其他两个角之和为$180 - 50 = 130$。所以紧挨着x美元的角是100美元,紧挨着y美元的角是30美元。

如果$ x $旁边的角度是100,它会用$ x $创建一条直线,然后是$ x = 180 - 100 = 80 $

如果$ y $旁边的角度为30,它带有$ y $的直线,那么$ y = 180 - 30 = 150 $

$ x = 80 $和$ y = 150 $

一起,他们平等:

$ 80 + 150 = 230 $

所以我们最终的答案是E,230。

body_rest.jpg
记住在学习的时候一定要给你的大脑休息和恢复的时间。你工作很努力,所以不要害怕休息一下。

除了

如果你发现自己遇到了一个不知道如何用代数方法解决的问题,或者你想绝对确保自己得到了正确答案,那么代入自己的数字的策略是非常有价值的。然而,PIN的缺点是会消耗额外的时间。

如果你确保明智地使用你的插件策略,并把它们保存到你最需要它们的时候,你可能会发现自己解决了以前从来没有解决过的问题。


接下来是什么?

既然你已经通过了ins和in of pin,请确保您知道其他用于导航标准化数学问题的技术。请务必查看我们的文章插入的答案(PIA)来获得如何在SAT和ACT考试中避免使用复杂代数的完整图片。

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考特尼蒙哥马利
关于作者

考特尼高中时的SAT成绩是第99百分位,后来从斯坦福大学毕业,获得了文化与社会人类学学位。她热衷于将教育和成功的工具带给来自不同背景和各行各业的学生,因为她相信开放教育是伟大的社会平等者之一。她有多年的家教经验,并在空闲时间创作作品。



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