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SAT数学中的直线和斜坡:几何策略

张贴了 考特尼蒙哥马利| 2019年5月16日下午4:00:00

坐了数学

Feature_Slope.jpg

在我们坐线条和角度指南我们学过平行线,垂线,以及用两条或两条以上的直线求角的许多不同方法。现在我们来看直线的另一方面,也就是它们的斜率和方程。

这将是您的线条和斜坡的完整指南- 斜坡意味着什么,如何找到它们,以及如何解决您在SAT上看到的许多类型的斜率和线路方程问题。

什么是线条和斜坡?

在我们开始之前,您可能想要花点时间熟悉自己我们的SAT坐标点指南为了刷新坐标几何的基础知识。

基本上,几何坐标发生在$x$-轴和$y$-轴相交的空间中。这个空间上的任何地方都有一个坐标点,写为$(x, y)$,表示点在每个轴上的位置。

一行(或线段)是一个完全没有曲率的直线标记。它由一系列的点组成(并连接在一起)。

斜坡是线的倾斜(陡峭)的尺寸。通过沿着$ x $轴的距离的变化找到沿Y轴的距离的变化来找到斜率。

您可能通过查找“超越奔跑”找到一条线的斜率。

$${\change \in y}/{\change \in x}$$

body_find_slope_1.png.

这是坐标网格上的一条典型的线。要找到斜率,首先将直线在网格上的点标记为完全整数坐标。这样求斜率就简单多了。

body_find_slope_1.2.png

无论电网在拐角处遇到,我们都会有坐标,即整数。我们可以在这里看到我们的线路击中坐标:$( - 3,4)$,$(0,2)$和$(3,0)$。

现在让我们找到这条线的崛起和运行。

body_find_slope_1.3.png

我们的“上升”将是-2,因为我们必须向下移动2个单位才能到达直线上的下一个坐标点。

我们的运行将是+3,因为我们必须将3个单位移动到我们线上的下一个坐标点。

所以我们的最终斜坡将是:

美元\ / \运行$上升

$ - {2/3} $

山坡上的属性

斜率可以是正的也可以是负的。

积极的坡度从左向右上升。

body_pos_slope - 1. - png

一个负斜率从左到右。

body_neg_slope.png.

一条直的水平线有零点的斜率。它仅由一个轴定义。

body_flat.png

y = 2美元

一条笔直的垂直线有一个未定义的斜率(因为运行将始终为0,并且您不能划分为0)。它仅由一个轴定义。

body_flat_2.png

$ x = 2.5 $

陡峭的线,斜坡越大。

body_Steep_slopes.png
红线是最陡的,斜率是4/1,也就是4。蓝线没有那么陡,斜率是4/9美元

body_steep_1.jpg.

旧金山对陡峭的斜坡有点了解。

线路和斜坡公式

发现斜率

$$ {y_2 - y_1} / {x_2 - x_1} $$

为了找到连接两点的行的斜率,必须在X值的变化上找到y值的更改。

注意:您将其分配为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$,只要您是一致的,它就不重要。)

给定坐标$(2,2)$和$(-1,0)$,求直线的斜率。

现在,我们可以通过三种方式之一来解决这个问题 - 通过绘制图表和计数,或者使用我们的公式之一。

body_finding_slope_3.png.

因为我们之前已经看到了如何在图上计算斜率,让我们用这个公式来看看它是怎么做的。

在两个坐标点中,我们必须将一个设置为$ x_1 $和$ y_1 $,另一个设置为$ x_2 $和$ y_2 $。让我们选择(2,2)是我们的$ x_1 $和$ y_1 $和(-1,0)是我们的$ x_2 $和$ y_2 $。

${y_2 - y_1}/{x_2 - x_1}$

$(0 - 2)/( - 1 - 2)$

$ { - 2} / { - 3} $

2/3美元

但是如果我们把$(- 1,0)$设为$x_1$, $y_1$和$(2,2)$设为$x_2$, $y_2$会发生什么呢?不管怎样我们都会得到相同的结果!

${y_2 - y_1}/{x_2 - x_1}$

$(2 - 0)/(2 - 1)$

2/3美元

不管x和y的第一个和第二个坐标是什么,最终的斜率都是一样的一致的

直线方程

$ $ $ $ y = mx + b

这被称为“直线方程”或直线的“斜截式”,它精确地显示了一条直线如何沿着$x$-和$y$-轴定位,以及它有多陡。这是计算直线和斜率时最重要的公式,我们把它分成几个部分。

  • $ y $是$ y $ -coorde值,适用于$ x $的任何特定值。
  • $ x $是$ x $ -coorde值是否有$ y $的特定值。
  • $ M $是您的斜率的衡量标准。
  • $b$是你行的$y$-截距值。这意味着它是直线到达$y$-轴的值(记住,直线最多只能到达每个轴一次)。

从图中找到行的等式。

body_finding_slope_3.png.我们从上面使用相同的图表,我们可以看到与$ y $ y x0.5的$ y $ -axis相交。$ *

我们之前也确定了斜率是$2/3。

所以当我们把这两个信息放在一起时,直线的方程是

$y = {2/3}x + 0.5$

*如果题目要求你在$x=0$或$y=0$的位置上更具体一点,那么就会有一个更详细的图。在这个问题中,当实际的拦截带坐标$(2,2)$和$(0,-1)$的线实际为$ 2/3 $或0.66 $,而不是0.5美元,图表不在您可以合理地视觉估计的范围内那。

记得始终重新编写任何线程,您将放入正确的形式!通常,测试将尝试通过给您等式来绊倒你不是用适当的形式写,求直线的斜率。这是为了让人们在快速完成测试时犯错误。

tx + 12 y = 3美元美元

上面的方程是$xy$-平面上的直线方程,$t$是一个常数。如果直线的斜率是-10,那么$t$的值是多少?

首先,让我们把这个方程代入正确的直线方程。

tx + 12 y =−3美元

12 y =−tx−3美元

$ y = - {tx} / {12} -3 / 12 $

现在,我们只关心求斜率,我们用已知的方法求斜率t的值。

- {t / 12} = -10美元

$ -t = -120 $

t = 120美元

我们的最终答案是$ t = 120美元。

永远记得把建立方程作为第一步这样你就能快速轻松地解出大多数斜率问题。

垂直线

当两条线相交成直角时,就称为“垂线”。垂线的斜率总是互为负倒数。这意味着你必须同时颠倒斜率和分数的符号。

例如,如果两条线彼此垂直,并且一个有3美元/ 4美元的斜率,则另一线将具有$ $ - {4/3} $。

body_perp.png

斜率为$3/4$和$-{4/3}$的垂直线

如果一条线具有-5的斜率,则垂直符合其匹配的线将具有1/5美元的斜率。

平行线

当两条直线永远不相交时,无论它们延伸多无限长,我们称这两条直线是平行的。这意味着它们是连续等距的。

如果两条直线平行,它们的斜率也相同。你们可以理解为什么这样做是有意义的,因为上升比上横距总是相同的,以确保直线不会接触。

Body_Parallel-1.Png.

平行线,斜坡为$ 4/3 $

body_spiral.jpg.当线条变得曲折。

典型的直线和斜率问题

坐满的大多数线条和斜坡问题在他们的核心非常基本。每次考试你都会在斜率上看到两个问题几乎所有这些都将要求您找到一行的斜率或线路的等式。

考试可能试图通过使用其他形状或图形使问题复杂化,但问题总是归结为这些简单的概念。

只需记住将任何给定的方程重新写入正确的斜坡截取表单,并记住您的查找斜坡的规则(以及您的平行或垂直线的规则)。凭借此次知识,您将能够快速轻松地解决这些类型的问题。

example1.jpg

从图中可以看出,直线的y轴截距是(0,1)。

直线也经过点(1,2)

这是我们弄清楚线路的斜率的足够信息,我们知道是$ {\ change \在y} / {\ change \中\ x} $。

$ {2-1} / {1-0} = {1} / {1} = 1 $

现在我们知道这条线的斜率是1。

在斜率-截距式中,直线$l$的方程是$y=x+1$或者选项D。

最终答案是D。

example2.jpg.

我们知道斜率是${\change \in y}/{\change \in x}$。

方程式$ y = kx + 4 $已经处于斜坡拦截形式,所以我们知道线的斜率为$ k $。

我们还知道该行包含点$(c,d)$,这意味着我们可以以$(x,y)$中的$(x,y)$替换这些变量。

得到$d=kc+4$

求斜率$k$,得到$k= {d-4}/c$

我们的最终答案是一个,$ {d-4} /加元

如何解决直线和斜率问题

当你处理直线和斜率的问题时,请记住以下技巧:

#1:始终将您的等式重新排列为$ y = mx + b $

测试制造商通常会在您的一行中呈现不正确的形式的等式,例如:$ 4Y + 3x = 12 $。

如果你做得太快,或者你忘记把给定的方程重新整理成合适的斜率-截距形式,你就会错认直线的斜率。所以一定要记得把方程重新整理成合适的形式作为第一步。

{3/4}x + 3/4}x + 3/4

永远记住你的$\rise/\run$

在找到y的变化之前,可以很容易地犯错,试图找到$ x $的变化,因为我们的大脑用于做事“按顺序进行”。“仔细追踪你的变量,以减少这种性质的粗心错误。

请记住“超越运行”的口头禅,这将有助于您始终知道在$ x $的更改中找到您的变化。

#3:制作自己的图形和/或计算缝合

因为斜率始终“超越运行,”你可以始终找到具有图形的斜率 - 无论是来自给定图形还是从自己的图表中找到。如果您没有提供一个,那么拍摄一秒钟并使自己的图表从来是一个坏主意。这将有助于您更好地可视化问题并避免错误。

如果你忘记了你的公式(或者只是不想使用它们),只要数一下直线是如何上升(或下降)的,然后追踪它的“轨迹”,你就会找到你的斜率。

body_coloring.jpg.jpg.哦,在那些日子里,我们需要知道的所有关于线条是如何上色(或退出)他们....

测试你的知识

现在我们走过典型的斜坡问题,你会在测试中看到(以及你需要解决的一些基本提示),让我们把你的知识放在考试中。

1.

indists1.jpg.

2.

question2.jpg

3.

问题3.jpg.

4。

问题4 - 1. - jpg

答案:D,A,B,D

答案的解释:

1.我们知道斜率是${\change \in y}/{\change \in x}$。

我们还知道斜率是-2,这意味着它一定是$-{2/1}$。

这意味着,每当y值减少2,x值就增加1。每次y的值增加到2,我们的x价值将会减少1。

如果我们使用我们的矩形,我们也有一个参考线。我们可以看到矩形的长度为3(因为它从$ x = 0 $水平跨越$ x = 3 $)和长度为4(因为它从$ y = 0 $垂直跨越$ y = 4$)。

这意味着矩形与右上角坐标(3,4)的直线相交。

现在我们可以简单地计算直线与y轴相交的位置。

因为斜率在水平方向(沿着x轴)一次增加一个单位,我们可以看到在直线上有3/1 = 3$的偶数点需要找到y轴截距。基本上,这意味着取斜率$-{2/1}$,然后乘以3得到$-{6/3}$。

也就是说,y的变化量加6 x的变化量减3因为我们是在向后求斜率。

所以现在我们能够找到我们的新观点,说我们从4到4 + 6 = 10美元增加了我们的y价值,我们已经将x-alge减少到3到3-3美元= 0 $,这会给我们新坡:

$(4 + 6)/(3 - 3)= 10/0 $

我们的新坐标点是(0,10)也就是说y轴截距是10。

最终答案是D,10。


2.我们知道,我们可以使用$ {y_2 - y_1} / {x_2 - x_1} $找到线的斜率,因此让我们为这些值插入(0,r)和(s,0)的坐标。

${y_2 - y_1}/{x_2 - x_1}$

$(0 - r)/(s - 0)$

$ r / s $

s保持不变,但是r的值变成负数,因为它是从0减去的。

我们的最终答案是A.


3.如果你数这条线与y轴截距的交点,你可以看到它在$y=3$处

在等式$ y = mx + b $,b是y-erlcept。这意味着我们的B将是3。

因此,我们可以越过答案选择A和D,让我们降到B,C和E.

我们也可以看到我们的线从左到右落下,所以我们的斜坡将是消极的。这意味着我们可以消除回答选择E,让我们在选择B和C之间。

现在让我们拿出这条线击中轴的两点。我们已经看到线路击中Y-intercepty $ y = 3 $,我们也可以看到该线击中x轴以$ x = 2 $。这意味着我们的线路命中坐标(0,3)和(2,0)。

这意味着我们的Y值的变化为-3,x值的变化是+2。(为什么?因为我们减少y的值乘以3增加x的值乘以2)

所以我们的坡度必须是$ - {3/2} $,这意味着我们的最终等式将是:

$y = -{3/2}x + 3$

我们的最终答案是B.

4。已知这条直线的方程是$y=2x-5$。

这意味着直线的斜率是2,而$y$-截距是(0,-5)。

斜率为2意味着,每增加$x$ 1, $y$增加2。

看每个图表,选择CD是山坡的唯一行(不要被选择所愚弄B斜率是-2)。

接下来我们来看$y$-intercepts。

选择中的线C在($0,5)$处有$y$-截距,这与已知的直线方程不匹配。

然而,选择D在$(0,-5)$的线上有一个$ y $ -terncept,这正是我们正在寻找的。

选择D是唯一具有正确斜率和y-erlcept的行。

最终答案是D。

body_victory - 2. - jpg华友世纪,华友世纪!你找到了你的斜坡,你知道你的台词!恭喜,恭喜。

停产

一旦你熟悉了坐标几何的基础知识,斜坡不应该太远的地方。虽然SAT会尽可能多地复杂化问题,因为它们是合理的能力,在线和斜坡上的问题几乎总是比出现更容易。

将你的重要公式牢记在心,并对你的负号保持警惕,当涉及到坡度和截距时,你会做得很好。

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考特尼蒙哥马利
关于作者

考特尼在高中坐在坐在高中的第99百分位数中得分,并继续从文化和社会人类学的学位毕业于斯坦福大学。由于她认为开放教育是伟大的社会均衡程序之一,她是关于带来教育和成功的工具的热情。她有多年的辅导经验,并在空闲时间写作创意作品。



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