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SAT Math(高级)上整数的完整指南

发布的 考特尼蒙哥马利|2015年7月2日下午4:30:00

坐了数学

feature_red_and_blue_numbers.jpg.jpg.

整数问题是SAT中最常见的问题,因此了解整数是什么以及它们如何运行对于解决许多SAT数学问题至关重要。了解你的整数可以在您为其骄傲的分数之间产生区别,并且需要改进一个。

在我们的SAT上整数的基本指南(在继续之前,您应该审查),我们涵盖了哪些整数以及如何操纵以获得偶数或奇数,正面或负面结果。在本指南中,我们将介绍更高级的整数概念,您需要了解SAT。

这将是您的“高级SAT整数”的完整指南,包括连续编号,PRIMES,绝对值,余额,指数和根源- 他们的意思,以及如何处理饱于遗漏的更加困难的整数问题。


SAT的典型整数题

因为整数问题涵盖了这么多不同的主题,因为没有“典型”的整数问题。但是,我们为您提供了几个真正的SAT数学例子,向您展示SAT可能会抛弃您的一些不同类型的整数问题。

过来,你将能够判断一个问题需要在以下情况下知识和理解整数:

#1:问题专门提及整数(或连续整数)。

这可能是一道应用题,甚至是一道几何题,但当题目要求一个或多个整数时,你要知道你的答案必须是整数。

如果$ j $,$ k $和$ n $是连续的整数,例如$ 0

一种.0
B..1
C.2
D..3.
E..4

(我们将通过在指南后面解决这个问题的过程)


#2:这个问题与质数有关。

质数是一种特殊的整数,我们一会儿会讨论它。现在,只要提到质数就意味着它是一个整数问题。

大于50的最小质数和小于50的最大质数的乘积是多少?
(我们将通过在指南后面解决这个问题的过程)

#3:问题涉及绝对值方程(包含整数)

任何绝对值都会用绝对值符号括起来,就像这样:
| |

例如:$|-210|$或$|x + 2|$

$ | 10 - k |= 3美元

$ | K - 5 |= 8美元

什么是满足上述等式的k值?

(我们将通过如何在下面的绝对值的部分中解决此问题)

注意:有几种不同类型的绝对值问题。

大约一半的绝对值问题您遇到的涉及使用不等式(由$> $或$ <$)。如果您不熟悉不等式,查看我们的不平等指南

SAT上的其他类型的绝对值问题将涉及数字线或书面方程。涉及数字线的绝对值问题几乎总是使用分数或十进制值。有关分数和小数的信息,请查看我们的SAT分数指南

我们将仅在本指南中覆盖书面绝对值方程(包含整数)。

#4:问题使用完美的正方形或要求您减少根值

根本问题将始终涉及根标志:$√$

$√81$,$ ^3√8$

您可能会要求您减少根,或找到完美广场的平方根(一个是整数的正方形)。您可能还需要将两个或更多根繁殖在一起。

我们将通过这些定义,以及所有这些过程如何在根部的条件中完成。

(注意:具有完美正方形的根问题可能涉及分数。有关此概念的更多信息,请查看我们的分数和比率指南.)

#5:问题涉及乘以或分割基地和指数

指数总是一个位置高于主(基数)号的数字:

$ 2 ^ 7 $,$(x ^ 2)^ 4 $

您可能会要求您找到指令的值或在您将乘以指数乘以或划分的术语中找到新表达式。


我们将在本指南中完成所有这些问题和主题,以最大的普遍存在。

body_cryptid.jpg.我们保证整数比......无论这些东西都是多么神秘。

指数

每一个星期六都会出现指数问题,并且您可能会在每次测试中至少看到两次指数问题。指数指示必须乘以数量(称为“基本”)的次数。

所以$ 4 ^ 2 $与你说2美元* 4美元相同。和4 ^ 5 $ 2美元的人在一起,附2美元* 4 * 4 * 4 * 4美元。这里,4是基础,2和5是指数。

对负指数的数字(基本)是与基础除以正负指数的相同的事情。

例如,$ 2 ^ { - 3} $ 2美元$ 1/2 ^ 3 $ => $ 1/8 $

如果$x^{-1}h=1$,那么$h$用$x$表示等于多少?

一种.- x美元
B..$ 1 / x $
C.1美元/ {x ^ 2} $
D..$ x $
E..$ x ^ 2 $

因为$x^{-1}$是底数的负指数,我们知道我们必须把它改写为1除以底数的正指数。

$ x ^ { - 1} $ => $ 1 / {x ^ 1} $

现在我们有:

$ 1 / {x ^ 1} * h $

也就是说

$ {1h} / x ^ 1 $ => $ h / x $

我们知道这个等式设置为等于1.所以:

$ h / x = 1 $

如果您熟悉分数,那么您将知道自身的任何数字等于1.因此,$ H $和$ x $必须相等。

所以我们的最终答案是d, $h = x$

但是,负面指数只是了解许多不同类型的SAT指令的第一步。您还需要了解几种其他方式,其中指数彼此表现。

以下是主要的指数规则,这将有助于您了解SAT。

指数公式:

将数字乘以指数:

$x^a * x^b = x^[a + b]$

(注意:该规则必须相同的基础适用)

为什么这真的是真的?使用真实数字来考虑它。

如果你有2 ^ 4 * 2 ^ 6 $,你有:

$(2 * 2 * 2 * 2) * (2 * 2 * 2 * 2 * 2

如果你数一下,得到2乘以它自己10倍,也就是2的10次方美元。所以$2^4 * 2^6$ => $2^[4 + 6]$ => $2^10$。

如果$ 7 ^ n * 7 ^ 3 = 7 ^ 12 $,$ n $的值是多少?

一种.2
B..4
C.9
D..15.
E..36.

我们知道,使用相同基础和指数的乘以数字意味着我们必须添加那些指数。所以我们的等式看起来像:

$ 7 ^ n * 7 ^ 3 = 7 ^ 12 $

$ n + 3 = 12 $

$ n = 9 $

所以我们的最终答案是c,9。

$x^a * y^a = xy ^a$

(注意:指数必须适用此规则)

为什么这真的是真的?使用真实数字来考虑它。

如果你有2 ^ 4 * 3 ^ 4 $,你有:

$(2 * 2 * 2 * 2)*(3 * 3 * 3 * 3)$ => $(2 * 3)*(2 * 3)*(2 * 3)*(2 * 3)$

所以你有$(2 * 3)^ 4 $,或6 ^ 4 $

划分指数:

$ {x ^ a} / {x ^ b} = x ^ [a-b] $(注意:基础必须适用此规则)

为什么这真的是真的?使用真实数字来考虑它。

$ {2 ^ 6} / {2 ^ 2} $也可以写作:

$ {(2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2)} / {(2 * 2)} $

如果消掉下面的2,就剩下$(2 * 2 * 2 * 2)$,也就是$2^4$

所以${2^6}/{2^2}$ => $2^[6-2]$ => $2^4$

如果$x$和$y$是正整数,下面哪个等价于$(2x)^{3y}-(2x)^y$?

一种.$ (2 x) ^ {2 y} $
B..$ 2 ^ y(x ^ 3-x ^ y)$
C.$(2x)^ y [(2x)^ {2y} -1] $
D..$ (2 x) ^ y (4 x ^ y-1)美元
E..$(2x)^ y [(2x)^ 3-1] $

在此问题中,您必须分发一个共同的元素-$(2x)^ y $ -by从两块表达式划分。

这意味着您必须划分$(2x)^ {3y} $和$(2x)^ Y $(2x)^ y $。让我们从第一个开始:

$ {(2 x) ^ {3 y}} / {(2 x) ^ y} $

因为这是一个除法问题涉及到相同底的指数,我们说

$ {(2x)^ {3y}} / {(2x)^ y} =(2x)^ [3y - y] $

所以我们留下了:

$ (2 x) ^ {2 y} $

现在,在我们的等式的第二部分,我们有:

$ {(2 x) ^ y} / {(2 x) ^ y} $

再次,我们正在分开具有相同基地的指数。所以通过相同的过程,我们会说:

$ {(2x)^ y} / {(2x)^ y} =(2x)^ [y - y] =(2x)^ 0 = 1 $

(为什么1?因为,因为你会看到下面,任何升到0 = 1的力量

所以我们最终的答案是:

$ {(2 x) ^ y} {((2 x) ^ {2 y} - 1)} $

意思是我们的最终答案是c

以指令为代价:

$(x ^ a)^ b = x ^ [a * b] $

为什么这真的是真的?使用真实数字来考虑它。

$(2 ^ 3)^ 4 $也可以写作:

$(2 * 2 * 2)*(2 * 2 * 2)*(2 * 2 * 2)*(2 * 2 * 2)$

如果您将它们算作,则2乘以12次。所以$(2 ^ 3)^ 4 => 2 ^ [3 * 4] => 2 ^ 12 $

$(x ^ y)^ 6 = x ^ 12 $,$ y $的值是多少?

一种.2
B..4
C.6
D..10.
E..12.

因为指数乘以指数乘以,所以我们的问题看起来像:

$ y * 6 = 12 $

y = 2美元

所以我们的最终答案是一个,2。

分发指数:

$(x / y)^ a = {x ^ a} / {y ^ a} $

为什么这真的是真的?使用真实数字来考虑它。

$(2/4)^ 3 $可以写作:

$(2/4)*(2/4)*(2/4)$

$ 8/64 = 1/8 $

你也可以说2美元^ 3/4 ^ 3 $ => $ 8/64 $ => $ 1/8 $

$(xy)^ z = x ^ z * y ^ z $

如果您正在向指数的权力拍摄修改后的基础,则必须分发该指数两个都修饰符基地。

$(3x)^ 3 $ => $ 3 ^ 3 * x ^ 3 $

(关于分发指数的说明:您只能使用乘法或部门 - 指数分发指数不会分发添加或减法。$(x + y)^ a $不是$ x ^ a + y ^ a $,例如)

特殊的指数:

对于SAT,你应该知道指数为0时会发生什么:

$ x ^ 0 = 1 $ why $ x $是0号除0

(为什么任何数字但0?对于0以外的任何电量为0,因为0x = 0 $。和0的任何其他号码为0是1.这使得$ 0 ^ 0 $ undefined,因为它可以是两者根据这些指南0和1。)

解决指数问题:

永远记住,您可以以与我们上面的相同方式测试以实数的指数规则。如果您以$(x ^ 2)^ 3 $呈现,请不知道是否应该添加或乘以您的指数,请用实数替换x!

$(2 ^ 2)^ 3 =(4)^ 3 = 64 $

现在检查您是否应该添加或乘以您的指数。

$2^[2+3] = 2^5 = 32$

$ 2 ^ [2 * 3] = 2 ^ 6 = 64 $

所以你知道当指数被带到另一个指数时,你应该乘以。

这也有效,如果你有巨大的东西,如$(x ^ 23)^ 4 $。

你不需要用2^23美元来测试它!就像我们上面做的那样用更小的数来计算指数法则。然后,把你新发现的知识应用到更大的问题上。

body_exponent_joke.png哲学上的争论仍在继续。

根题在SAT考试中很常见,你应该至少会在考试中看到一个。

根在技术上是分数指数。然而,您可能最熟悉平方根,所以您可能从未听过以前的指数表达的根。

平方根问问题:“需要乘以一个时间的数字一次,以便等于根标志下的数字?”

所以$√36= 6 $,因为6必须乘以一个时间到等于36。

换句话说,6 ^ 2 = 36 $

另一种写入$√36$的方式是要说$ ^2√36$。根标志顶部的2表示数量(2个数字,两者都是相同的)被乘以一起成为36.(注意:您没有明确需要根符号顶部的2-a root的无指示器自动为平方根。)

所以$^3√27 = 3$因为三个数字,都是一样的3 * 3 * 3$,相乘等于27。也就是$3^3 = 27$。

分数指数

如果您有一个分数指数的数字,那只是向您提出根的另一种方式。

所以$ 16 ^ {1/2} => ^2√16$

把分数指数化为根,分母就是取根的值。

但如果在分子中有1个以外的数字,怎么办?

$ 16 ^ {2/3} => ^3√16^ 2 $

分母成为您拍摄root的值,并且分子成为您在根符号下占据该号码的指数。

分布的根

$√xy =√x *√y$

就像以指数一样,根可以分开。

所以$√20$ => $√2*√10$或$√4*√5$

$√x*√y=√xy$

因为它们可以分开,根也可以走到一起。

所以$√2*√10$ => $√20$

减少根

遇到混合根的问题是常见的,在那里您有一个整数乘以根(如300美元)。

这里,$3�2$减少到最简单的形式,但让我们说你有这样的东西:

2√12美元

现在$2√12$并没有减少。为了化简它,我们必须找出是否有任何完全平方因子能分解成12。如果有,那么我们可以把它们从根符号下提出来。

(注意:如果有一个以上的完全平方因子可以在你的数字的根符号下,使用最大的一个。)

12有几个因子对。这些都是:

$ 1 * 12 $

$ 2 * 6 $

$ 3 * 4 $

那么4是一个完美的广场,因为2 * 2 = 4美元。这意味着$√4= 2美元。

这意味着我们可以从根标志下取出4。为什么?因为我们知道,$√xy=√x*√y$。

所以$√12 =√4 *√3$。$√4 = 2$。所以4可以从根号下出来用2代替。

$√3$是我们能减少的最小值,因为它是质数。

我们留下2美元3美元,作为$√12$的最低形式

(注意:您可以在大多数计算器上测试。$√12= 3.4641 $和$ 2 *√3= 2 * 1.732 = 3.4641 $。这两个表达式是相同的。)

现在要完成这个问题,我们必须乘以我们的缩减形式$√12$ 2.为什么?因为我们的原始表达式为2美元12美元。

$ 2 *2√3=4√3$

因此,最低的表格2美元的价格为4美元3美元

余数

涉及剩余者的问题通常在任何给定的SAT上显示至少一次或两次。当两个数字不均匀分裂时,剩余的数量是剩余的。如果将12划分为4,则您将没有任何余数(您的余数将为零)。但是如果你将13划分为4,你将有一个剩下的1,因为有1个剩下的。

您可以将该部门视为$ 13/4 = 3 {1/4} $。额外的1剩下。

Most of you probably haven’t worked with integer remainders since elementary school, as most higher level math classes and questions use decimals to express the remaining amount after a division (for the above example, $13/4 = 3 \remainder 1$ or $3.25$). But for some situations, decimals simply do not apply.

Joanne的母鸡共奠定了33个鸡蛋。她把它们放进纸箱中,适合6个鸡蛋。她将剩下多少个鸡蛋,不会制造一个完整的鸡蛋?

$ 33/6 = 5 \余数3美元。因此,Joanne可以用3个鸡蛋制作5个完整的篮子。

一些剩余的问题似乎令人难以置信的模糊,但一旦你理解被问到你的东西,他们都是非常基本的。

以下哪个答案可能是剩余的,按顺序,当五个正连续整数除以4时?

一种.0,1,2,3,4
B..2 3 0 1 2
C.0 1 2 0 1
D..2,3,0,3,2
E..2,3,4,3,2

这个问题起初可能看起来很复杂,所以让我们把它分成碎片。

问题要求我们找到列表余数当正连续的整数除以4时。这意味着我们不寻找答案+留下 - 我们只是想自己找到剩下的人。

我们将在指南中讨论下面的连续整数,但现在了解“正连续整数”是指沿数字行连续的正整数。因此,连续的整数连续增加1。图11,12,13,14,15等是正连续整数的示例。

我们还知道任何号码除以4的任何数字都可以拥有最多的剩余时间为3.为什么?因为如果任何数字可以除以4,剩下的4个剩余时间,这意味着它可以再次划分4次!

例如,$ 16/4 = 4 \余数0 $,因为4恰好进入16次。(这不是3美元的3美元。)

因此,自动让我们摆脱答案选择A和e,因为这些选项都包括一个剩余部分的4个选项。

现在我们也知道,当正连续整数除以任何数字时,剩余的人增加1,直到他们达到最高的剩余部分。发生这种情况时,下一个整数余数重置为0.这是因为我们的较小数字已经进入较大的数量偶数(意味着没有剩余时间)。

例如,$ 10/4 = 2 \余数2 $,$ 11/4 = 2 \余量3 $,$ 12/4 = 3 \余量0 $,以及$ 13/4 = 3 \余数1 $

一旦实现了最高的剩余值(在这种情况下为3),下一个剩余部分将重置为0,然后从1再次重复图案。

因此,我们正在寻找一个图案,其中剩余者上升1,在剩余时间= 3后重置为0,然后再次重复1。

这表示答案是b,2,3,0,1,2

body_omlette.jpg

幸运的是,Joanne的剩下的鸡蛋并没有被不受欢迎。

质数

坐坐子喜欢在素数上测试学生,所以你应该期望在素数上看到一个问题。一定要了解它们是什么以及如何找到它们。

质数是只能被两个数整除的数,即它自己和1。

例如,11是素数,因为$ 1 * 11 $是它唯一的因素。(11不均匀地可被2,3,4,5,6,7,8,9或10)。

12不是素数,因为它的因素是1,2,3,4,6和12.它具有比自身和1更多的因素。

1不是素数,因为它只要因子是1。

唯一甚至的素数是2.关于普雷斯的问题经常出现在SAT和了解2(只有2!)是一个素数,这对于解决许多人来说是非常宝贵的。

一个质数$x$的平方,然后加上另一个质数$y$。下面哪个可能是最终的结果?

  1. 偶数
  2. 一个奇数
  3. 一个正数

一种.我只
B..只有
C.第三只
D..只有I和III
E..I, II和III

这个问题取决于你对数关系和质数的了解。你知道任何一个数的平方(这个数乘以它自己)如果原来的数是偶数就是偶数,如果原来的数是奇数就是奇数。为什么?因为偶数*偶数=偶数,奇数*奇数=奇数($6 * 6 = 36$ & $7 * 7 = 49$)。

接下来,我们将该方块添加到另一个素数。您还请记住,偶数+奇数是奇数,奇数+奇数是偶数,偶数+偶数均匀。

知道这2是素数,让我们用2. $ 2 ^ 2 = 4 $替换x。现在,如果y是不同的素数(如问题规定),则必须是奇数,因为唯一的素数是2.所以让我们说$ y = 3 $。

4元+ 3 = 7元。所以最终结果是奇数。

这意味着II是正确的。

但是,如果两个都X和y是奇数质数吗?假设$x = 3$ y = 5$。

所以$3^2 = 9$。

$ 9 + 5 = 14美元。所以最终结果甚至是。

这意味着我是正确的。

现在,对于选项III,我们的结果表明有可能得到一个正数结果,因为我们的两个结果都是正的。

这表示最终答案是e,I,II和III

如果您忘记了2个是素数,您只能挑选D,I和III,因为有没有可能的方法来获得奇数。记住2是素数是解决这个问题的关键。

SAT上的另一个典型素数问题将要求您确定有多少素数在某种程度上下降。

30和50之间有多少质数(包括30和50)?

一种.两个
B..三
C.四个
D..五
E..六

这可能似乎令人恐慌或耗时,但我保证你不需要记住素数列表。

首先,根据您知道唯一的素数为2,从列表中取消所有偶数。

接下来,去掉所有以5结尾的数字。任何以5或0结尾的数都能被5整除。

现在你的列表看起来像这样:

31, 33, 37, 39, 41, 43, 47, 49

这更易于使用,但我们需要进一步缩小它。

(您可以在此处开始使用计算器,或者您可以手动执行此操作。)一种方式查看数字是否已被3可分割为3是将数字添加在一起。如果数量是3或可被3可分开,然后最终结果可被3分开。

例如,数字31不可分于3,因为3 + 1 = 4 $,其不可分割的3次以33即可被3划分为3,因为3 + 3 = 6美元,其可被3即将到来。

因此,我们现在可以从列表中消除33(3 + 3 = 6美元)和39(3 + 9 = 12 $)。

我们留下31,37,41,4,47,49。

现在,为了确保您尝试所有必要的潜在因素,请采取您尝试确定的数字的平方根是素数。任何等于或小于平方根的整数将是一个潜在的因素,但您不必尝试更高的数字。

为什么?嗯,让我们成为一个例子。它的因素是:

1,2,3,4,6,9,12,18和36。但现在看看因子配对。

1和36.

2 & 18

3 & 12

4和9

6 & 6

(9&4)

(12&3)

(18 & 2)

(36 & 1)

超过6后,数字重复。如果您测试4,您将知道9均匀地进入您的更大数字 - 不需要实际测试9只需再次获得4次!

因此,所有数字小于或等于潜在的主要平方根是您需要测试的唯一潜在因素。

回到我们的名单,我们有31,37,41,4,47,49。

嗯,最接近的平方根至31和37是6.我们已经知道,2月3日也不是3,也不是5个因素到31和37.既不是4,或者6.你已经完成了。31和37都必须是素数。

41 43 47 49,它们最接近的平方根是7。我们已经知道2 3 5都不能整除41 43 47 49。

7是49的精确平方根,所以我们知道49不是素数。

对于41 43 47,4 6 7都不能均匀地整除,所以它们都是质数。

剩下31 37 41 43 47。

所以你的答案是d在美国,30和50之间有5个质数(31,37,41,43和47)。

body_star_trek.png.质数,主指令,不管怎样我相信我们都能活得长久繁荣。

绝对值

绝对值是SAT爱使用的概念,因为学生对学生来说太容易犯了绝对值。期望在每个测试中看到一个关于绝对值的一个问题(虽然很少多于一个)。

绝对值是沿着数轴向前或向后的距离的表示。这意味着一个绝对值方程总是有两个解。

这也意味着绝对值标志中的任何东西都是正的,因为它表示沿数字线的距离,并且没有距离距离的距离。

方程$|x + 3| = 14$有两个解:

$ x = 11美元

$ x = -17 $

为什么是-17年?$-17 + 3 = -14$,因为它是绝对值(因此是一段距离),所以最终答案是正的。所以$|-14| = 14美元

当您呈现绝对值时,而不是在头部中执行数学以找到负面和正面的解决方案,将等式重写为两个不同的方程。

呈现上述等式$ | x + 3 |= 14 $,带走绝对值标志并将其转换为两个方程 - 一个带有正解的一个,一个带负解决方案。

所以$ | x + 3 |= 14 $成为:

$ x + 3 = 14 $

$ x + 3 = -14 $

解x美元

$ x = 11 $和$ x = -17 $

$ | 10 - k |= 3美元

$ | K - 5 |= 8 $。

$ k $的价值是什么,以满足上述两个方程式?

我们知道,任何给定的绝对值表达式都有两个解决方案,因此我们必须找到每个方程式共同共同的解决方案。

对于我们的第一个绝对值方程,我们正试图找到$ k $的数字,因为从10减去时,请给我们3和-3。

这意味着$k$的值是7和13。为什么?因为10 - 7 = 3$ 10 - 13 = -3$

现在让我们看看我们的第二方程。我们知道,$ k $的两个数字以$ k - 5 $必须给我们8和-8。

这意味着我们的$ k $值将是13和-3。为什么?因为$ 13 - 5 = 8 $和$ -3 - 5 = -8 $。

13显示为两个问题的解决方案,这意味着它是我们的答案。

所以最终答案是13,这是$ k $的数字,可以解决两个方程。

连续数字

关于连续数字的问题可能会或可能不会显示在您的SAT上。如果它们出现,它将最多一个问题。无论如何,他们仍然是您理解的重要概念。

连续数字是沿数字行连续延续的数字,每个数字之间的设定距离。

所以一个正面,连续数字的一个例子是:4,5,6,7,8

负数,连续数字的示例是:-8,-7,-6,-5,-4

(注意负整数是如何从大到小的——如果你还记得整数的基本指南,这是因为它们如何介绍与0相关的数字线)

通过给序列中的第一个赋一个变量$x$,然后对每个额外的数字加1,可以用代数方法写出未知的连续数。

四个正,连续的整数的总和为54.其中一个整数是什么?

如果x是我们的第一个,未知,整数在序列中,所以您可以将所有四个数字写为:

$x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 54$

$ 4x + 6 = 54 $

$ 4x = 48 $

$ x = 12美元

因为x是序列中的第一个数而$x= 12,我们序列中的第一个号码是12

您也可以要求您找到连续偶数或连续的奇数整数。这与连续的整数相同,只有它们都是全部其他数字而不是每个数字。这意味着在序列中的每个数字之间存在两个单元而不是1。

一个正的连续偶数的例子:8,10,12,14,16

正,连续奇数整数的一个例子:15,17,19,21,23

连续均匀或连续的奇数整数都可以按顺序写入:

$ x,x + 2,x + 4,x + 6 $等无论开始编号均匀或奇数,序列中的数字将始终分开两个单位。

什么是五个正,连续的奇数整数的序列中的中位数是多少?

$ x +(x + 2)+(x + 4)+(x + 6)+(x + 8)= 185 $

5美元x + 20 = 185美元

$ 5x = 165美元

$ x = 33美元

因此序列中的第一个数字为33.这意味着完整序列是:

33,35,37,39,41

中位数序号是37

body_grover_cleveland.png奖金历史课程 - 格罗弗克利夫兰是唯一一名美国总统曾经服过两项非连续条款的总统。

解决SAT整数题的步骤

因为SAT的整数题是如此的多和多样,没有固定的方法来解决它们完全区别于其他类型的SAT数学问题。但这里有一些技巧可以帮助你解决SAT整数题(以及大多数SAT数学问题)。

#1:确保问题需要整数。

如果问题没有指定您正在寻找整数,那么任何数字 - 包括小数和分数 - 都是公平的游戏。始终仔细阅读问题以确保您在正确的轨道上。


#2:如果你忘记了整数规则,就使用实数

忘记是否应该将正面的甚至连续的整数写为$ x +(x + 1)$或$ x +(x + 2)$?用实数测试它!

图14,16,18是连续的偶数。如果$ x = 14 $,$ 16 = x + 2 $,18美元= x + 4 $。

这适用于大多数所有整数规则。忘记你的指数规则?插入实数!忘记偶数*甚至是一个偶数还是奇怪的?插入实数!


#3:让您的工作组织。

与大多数SAT数学问题一样,整数问题看起来比它们更复杂,或者将以奇怪的方式向您展示。保持您的工作良好组织并跟踪您的价值观,以确保您的答案正是问题所要求的。

body_santa.jpg圣诞老人魔法并且必须仔细检查他的名单。所以请确保您也仔细检查您的工作!

测试你的知识

1。如果$ a ^ x * a ^ 6 = a ^ 24 $和$(a ^ 3)^ y = a ^ 15 $,$ x + y $的值是多少?

一种.9
B..12.
C.23.
D..30.
E..36.

2。如果$48√48=a√b$ where $ a $和$ b $是正整数和$ a> b $,以下哪个可能是$ ab $的值?

一种.48.
B..96.
C.192.
D..576
E..768

3.大于50的最小质数和小于50的最大质数的乘积是多少?

4.如果$j, k$,和$n$是连续的整数,并且$0

一种.0
B..1
C.2
D..3.
E..4

答案:C,D,2491,a

答案解释:

1。在这个问题中,我们被要求将基地乘以指数,并将基本带到另一个指数。基本上,问题正在测试我们是否知道我们是否知道我们的指数规则。

如果我们记得我们的指数规则,那么我们知道我们必须在我们将两个相同的基础乘以一个相同的基础时添加指令。

所以$ a ^ x * a ^ 6 = a ^ 24 $ => $ a ^ {x + 6} = a ^ 24 $

$ x + 6 = 24 $

$ x = 18 $

我们的价值为$ x $。现在我们必须找到$ y $。

我们还知道,当取一个底数和另一个指数的指数时,指数必须相乘。

所以$(a ^ 3)^ y = a ^ 15 $ => $ a ^ {3 * y} = a ^ 15 $

$3 * y = 15$

y = 5美元

在最后一步中,我们必须将$x$和$y$的值相加:

$ 18 + 5 = 23 $

所以我们的最终答案是c,23。

2。我们从$48�48$开始,我们知道我们必须减少它。为什么?因为我们被告知我们的第一个$ 48 = A $和我们的第二次48美元= B $,它$ a> b $。现在我们的$ a $和b $等于,但是,通过减少表达式,我们将能够找到比我们的$ B $的价值大

所以让我们找到48的所有因素,看看是否有任何完美的广场。

48.

$ 1 * 48 $

$ 2 * 24 $

$ 3 * 16 $

$ 4 * 12 $

$ 6 * 8 $

其中两对是完全平方。16是最大的完全平方数,这意味着它是使$48√48$变成最简形式的数。虽然我们没有明确要求找到$48√48$的最简形式,但我们现在可以从那里开始。

所以$ 48√48= 48 *√16*√3$

$48 * 4 *√3$

$192√3$

这意味着我们的$ a = 192 $和我们的$ b = 3 $,然后:

$ ab = 192 * 3 = 576 $

所以我们的最终答案是d, 576年。

(特别注意:你会注意到我们如何被告知找到一个可能的价值对于$ ab $,不一定$ ab $当$48√48$最多减少.所以如果上面的答案不匹配其中一个选项,我们只需要减少48√48美元部分方式

$48√48= 48 *√4*√12$

$48 * 2 *√12$

$96√12$

这将使$a = 96$, $b = 12$,这意味着$ab$的最终答案将是$96 * 12 = 1152$。)

3.这个问题要求我们能够找出哪些数是质数。让我们用上一节讨论质数时使用的相同方法。

除了2之外的所有素数将是奇数,没有在5中结束的素数。所以让我们列出上方等于50以下50岁以下的奇数(不包括在5'中)。

41 43 47 49 51 53 57 59

我们试图找到两边最接近50的数,所以我们先测试40的最大值。

49是7的完美正方形,这意味着它可以通过不仅仅是自身和1.我们可以在列表中交叉49。

47不可分割为3,因为$ 7 + 4 = 11 $和11不可分割。它也不可分解3.它也不是任何偶数(因为偶数*偶数=偶数),5,或者到7。这意味着它必须是素数。

(为什么我们在这里停下来?记住我们只需要测试潜在的因素,直到潜在的潜在素数的最接近的平方根。$ 6 ^ 2 = 36 $和7 ^ 2 = 49 $之间,所以我们测试了7只是为了安全。一旦我们看到7,我们无法进入47,我们证明了47是一个素质。)

47是小于50的最大质数。

现在我们来测试大于50的最小数。

51是奇数,但是5 + 1 = 6美元,其可被3分开。这意味着51也是如3所分隔的,因此不能是素数。

53不可分割为3,因为5 + 3 = 8美元,这不可分割。它也不是5或7。因此,它是素数。(再次,我们在这里停止,因为最近的平方根至53是在7到8之间。和8并且8不能是主要因素,因为它的所有倍数都是偶数的。

这意味着我们最小的主要原子小于50的是47,我们最大的是53.现在我们只需要找到这两个数字的产品。

$47 * 53 = 2491$

最终答案是2491

4.已知$j$、$k$和$n$是连续整数。我们也知道它们是正的(因为它们大于0)并且它们是升序的,$j$到$k$到$n$。

我们也被告知,$ jn $等于一个数字,单位为9.所以让我们找到用两个数字获得9个乘积的所有方法。

$ 1 * 9 $

$ 3 * 3 $

从两个数的乘积中得到以9(单位位数9)结尾的数的唯一方法有两种:

#1:两个原始数字的个位数都是3

#2:两个原始数字分别具有1和9的单位数字。

现在让我们来敏捷的连续整数。正连续整数必须按顺序上升,每个变量之间的差异为1。所以$ j,k,n $可以看起来像一个沿一致数字行的任何三个数字的集合。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16等

没有可能的方式是第一个和最后三个连续数字的单位数字可以两个都是3.为什么?因为如果有3个单位数字3,则另一个将在1或5中结束。作为一个例子。如果$ j $ 13,那么$ n $必须是15.如果$ n $ 13,那么$ j $必须是11。

所以我们知道,既不是$ j $和$ n $的单位数字为3。

现在让我们看看是否有一种方法可以给出$ j $和$ n $单位数字为1和9(或9和1)。

如果给予1美元的单位数字为1,$ n $将有一个单位数字为3.为什么?图片$ j $ as 11. $ n $必须是13,11 * 13 = 143 $,这意味着他们产品的单位不是9。

但是,如果$ n $何时是一个单位数字为1的数字?$ j $将有一个单位数字为9.为什么?图片$ N $至11月11日。$ j $将是9。

9美元* 11美元= 99美元个位数是9。

如果$j$的最后一位是9并且$j k \和n$是连续的,那么$k$必须以0结尾。

所以我们的最终答案是一个,0。

除了

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考特尼蒙哥马利
关于作者

考特尼在高中坐在坐在高中的第99百分位数中得分,并继续从文化和社会人类学的学位毕业于斯坦福大学。由于她认为开放教育是伟大的社会均衡程序之一,她是关于带来教育和成功的工具的热情。她有多年的辅导经验,并在空闲时间写作创意作品。



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