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SAT数学分数和比率的完整指南

张贴了 考特尼蒙哥马利| 2016年3月15日下午5:00:00

坐了数学

freature_fraction_cake.png你可能是在小学的时候第一次接触到分数,虽然你可能已经有一段时间没有接触到它们是如何变化的,如何相互作用了。为了刷新,分数和比率都被用来表示整体的部分。分数告诉你有多少件相比,一个潜在的整体数量(3红色在一袋5中,例如),虽然比率相互比较块(3红色2个蓝球),或更很少,部分整个数量(3红色在5总)。

如果这听起来很复杂,现在不要担心!我们将通过本指南中的分数和比例后面的所有原则。如果现在对您似乎很容易,肯定会在指南结束时检查实践问题,以确保您在测试中掌握了所有不同类型的分数和比例问题。SAT喜欢以不熟悉的方式呈现熟悉的概念,因此不要让您的掌握分数导致您对如何在测试中看到分数和比率的假设。

无论您在现在的分数和比率有多舒适,本指南都适合您。在这里,我们将通过完全分解的分数和比率- 他们是什么意思,如何操纵它们,以及如何回答饱于诗人的最困难的分数和比例问题。

本指南

本指南分为两个截然不同的类别——你需要知道的关于分数的一切和你需要知道的关于比率的一切。每一部分,我们都会详细讲解分数和比率的含义以及如何处理和解决SAT中会遇到的各种分数和比率问题。

我们还将击败如何告诉SAT问题需要比率或分数以及如何设置方法这些类型的问题。最后,您将能够测试您对真实SAT数学问题的知识。

body_multi-tool.jpg.jpg.

你准备好坐着,你的大脑可以是瑞士军刀准备任何问题,测试可以投掷你。

什么是馏分?

$ ${\一块\}/{\ \整个}$ $

分数是整体的块。它们表示为您在整个(分母)上有(分子)的量。

披萨分为8件。凯尔吃了3件。他吃什么比萨饼的一小部分?

他吃了3美元/ 8美元的比萨饼。3是分子(顶部号码),因为他吃了很多整体,而8是分母(底部号码),因为总共有8个碎片(整体)。

body_pizza - 1. - jpg当它美味时,数学总是更有趣。

特殊分数

自身的数字等于1

$ 3/3 = 1 $

10/10 = 1美元

$(a + b)/(a + b)= 1 $

整数可以表示自身超过1

$ 5 = 5/1 $

22/1 = 22美元

$(a + b)/ 1 = a + b $

0除以任何数都是0

$ 0/17 = 0 $

$ 0 /(A + B)= 0 $

此规则有一个例外:

0/0 = \未定义的美元。原因在于下一条规则。

任何数字除以0是未定义的

零不能充当分母。有关此检查的更多信息先进整数指南.但现在最重要的是0不能作为分母。

降低分数

如果分子和分母都有一个常见因子(它们可以划分的数字),则可以减少分数。出于SAT的目的,您需要减少您的分数以获得最终答案。

为了减少分数,您必须将分子和分母划分相同的数量。这使得分数一致并保持分子和分母之间的正确关系。

如果您的分数为3/12美元,那么它可以写入1/4美元。为什么?因为3和12都被3所分开。

$ 3/3 = 1 $和12/3 = 4 $。

所以你的最终分数是1/4美元

body_basics.png.现在让我们来看看如何在分数上执行这四个基本数学函数。

添加或减去分数

只要其分母相同,您可以添加或减去分数。为此,请将分母保持一致并简单地添加分子。

4/15 + 2/15 = 6/15美元

但如果您的分母不平等,则无法添加或减去分数。

$ 4/15 + 2/5 = ?$

那么当你的分母不平等时,你能做什么?你必须制作它们相等的方法是找到它们分母的公倍数(它们都能均匀相乘的数)。

在$ 4/15 + 2/5 $的情况下,分母15和5的常见倍数为15。

当您找到一个常见的分母倍数时,必须将分子和分母乘以实现该数字所花费的金额。同样,这使得分数(分子和分母之间的关系)一致。认为它与减少分数相反。

要到达15美元,4美元$ 4/15 $必须乘以1/1 $为什么?因为15 * 1 = 15。

$(4/15)(1/1)= 4/15 $。分数保持不变。

要得到15的公分母,$2/5必须乘以$3/3。为什么?因为5 * 3 = 15。

$(2/5)(3/5)= 6/15 $。

现在我们可以添加它们,因为它们具有相同的分母。

$ 4/15 + 6/15 = 10/15 $

我们可以进一步把10/15美元减为2/3美元因为10和15都能被5整除。

所以最终答案是2/3美元。

乘法分数

分数相乘比分数相加或除法要简单一些。没有必要找公分母——你可以直接把分数相乘。

要乘以分数,首先乘以分子。该产品成为您的新分子。

接下来,乘以你的两个分母。该产品成为您的新分母。

$ 1/4 * 2/3 =(1 * 2)/(4 * 3)= 2/12 $

再一次,我们把分数化简。分子分母都能被2整除,所以最终的答案是

$ 1/6 $

特别注意:通过在相乘之前找到交叉相乘的公因数,可以加快乘法和约简过程。

1/4 * 2/3美元= > 1/2 * 1/3美元。为什么?因为4和2都能被2整除,所以我们在开始之前就能减少交叉倍数。这节省了我们在最后减少最后分数的时间。

所以现在我们只需说:

$ 1/2 * 1/3 = 1/6 $。无需进一步减少 - 我们的答案完成。

请注意,只能完成减少交叉倍数乘以分数,从来没有加入或减去它们!它也是一个完全可选的步骤,所以不要觉得有义务减少你的交叉倍数 - 你可以在最后减少你的分数。

把分数

为了划分馏分,我们必须首先服用其中一个分数的互核(逆转)。之后,我们将两个分数乘以将两个分数乘以。我们为什么要做这个?因为划分与乘法相反,所以我们必须反转其中一个分数,以将其转回乘法问题。

${2/3}÷{3/4}$ => $2/3*4/3$(我们取3/4$的倒数,这意味着我们把分数倒过来变成4/3$)

$ 2/3 * 4/3 = 8/9 $

但是如果你需要用一个分数除以一个整数会怎样呢?

如果将蛋糕切成三分之一,每个第三个被切入四分之一,那里有多少块蛋糕?

***

我们以1美元/ 3美元的蛋糕开始,我们需要将每个第三次分开。

因为4是整数,它可以写为4美元/ 1美元。这意味着它的互惠是1/4美元。

1/3÷4美元= > 1/3 * 1/4 = 1/12美元

分母(整体)是12。这意味着会有12件蛋糕

小数点

因为分数是一个整体的一部分,所以也可以用小数点或百分数来表示分数。

要把分数化为小数,只需将分子除以分母。(/符号也可以作为除号。)

$ 4/5 $ => 4/5 = 0.8

有时它更容易将分数转换为小数以便通过问题工作。这可以节省您的时间和精力,试图弄清楚如何划分或乘以分数。

如果$ j / k = 32 $和$ k = 3/2 $,值1/2J $的值是多少?

***

如您所见,有两种方法可以使用分数和使用小数来接近此问题。我们将看看两种方式。

如果您要使用分数,您会将问题设置为分数问题。

k = 3/2美元

所以$ j / k = j / {3/2} $

$ j / {3/2} $ => $ j * 2/3 $(请记住,我们划分时互惠)

所以我们的全部问题看起来像这样:

$ 2/3 * j = 32 $

现在我们必须将32美元划分为2美元/ 3美元,以将其带到另一边并隔离j。这意味着我们需要采取互惠再一次

所以$ {32} / {2/3} $ => $ 32 * 3/2 = 96/2 = 48 $

$ j = 48 $

现在,对于最后一步,我们必须取j的$1/2$。(注意:取$1/2$等于乘以$1/2$。)

$ 48 * {1/2} = 48/2 = 24 $

我们的最终答案是24

或者,我们可以省去使用分数和倒数的麻烦,而只使用小数。

我们知道$ k = 3/2 $。让我们将其转换为小数,而不是保持分数。

3÷2 = 1.5美元

所以$ k = 1.5美元

$ j / k = 32 $

$ j / 1.5 = 32 $

当您将双方乘以1.5时,您得到:

$ j =(32)(1.5)= 48 $

$ j = 48 $

和$ {5}j ={5}(48) = 24美元

这么做,我们的最终答案是24

百分比

在将分数转换为小数之后,还可以将其转换为百分比(如果需要的话)。

所以0.8从也可以写为80%,因为0.8 * 100 = 80。

body_pie_chart_percentage.png
饼图是显示分数和百分比的相对大小的一种有用的方法。这显示了7/10美元(或70%)到底有多大。

混合分数

有时你可能会在饱和子上给出混合的分数。混合级分是整数和级分的组合。

例如,7美元3美元/ 4美元是混合分数。我们有一个整数,7和一小部分,3美元/ 4美元。

你可以把一个混合分数变成一个普通分数,方法是把整数乘以分母,然后把乘积加到分子上。最终的答案将是${new \分子}/{\原始\分母}$。

7 $ 3/4 $

(7)(4)= 28

28 + 3 = 31

所以你的最终答案= 31美元/ 4美元

您必须将混合分数转换成分数,以便将它们与其他分数乘以,分割,添加或减去它们。

body_q_redute_div.png.

在这个问题中,开始是5加仑水最后是2又1/3美元。我们必须算出我们用了多少加仑。

5-2

{1/3}以5比2美元

首先,让我们将混合的分数变成常规分数。

2 1/3美元= > $ {[(2 * 3)+ 1]}/ 3 = {7/3}$

$ 5 / 1-7 / 3 $

现在,我们需要给每个分数相同的分母。我们把5/1美元转换成分母为3的新分数。

$ 5/1 * 3/3 = 15/3 $

最后,我们可以找到金额之间的差异。

$ 15 / 3-7 / 3 = 8/3 $

所以我们用掉了8/3 / rds的水。

现在让我们计算桶被清空递增多少次,以利用总水的8美元/ 3美元RDS。如果你计算点,桶被清空了8次(第一个点不算一段时间 - 只是我们的起点)。

因为每次都会去除相同量的水,所以必须将我们空的水分为8。

$ {8/3}÷{8/1} $ => $ 8/3 * 1/8 $

我们现在可以减少跨倍数(因为这是一个乘法问题),这将为我们提供:

$ 8/3 * 1/8 $ => $ 1/3 * 1/1 $

1/3 * 1/1 = 1/3美元

或者我们可以乘以,然后减少:

$ 8/3 * 1/8 = 8/24 $

$ 8/12 = 1/3 $

无论哪种方式,我们的最终答案是1/3美元;每次从水箱中抽取1/3美元/加仑的水。

现在我们已经崩溃了所有关于SAT分数的信息,让我们看看他们关闭堂兄的比率。

Body_golden_ratio.jpg 这种形状称为“金色比率”,已经研究了数千年。它具有几何,性质和架构中的应用。

什么是比例?

比率用作比较一件事(或彼此的多件事)的方式。

如果Leslie有5个白色袜子和2个红色袜子,那么白色袜子和红色袜子的比例为5到2。

表达比率

比率可以用三种不同的方式编写:

A到B

- 答:B.

A / B美元

无论您如何编写哪种方式,这些都是比较A到B的差别。

不同类型的比率

正如一个分数代表整体中的一部分(写为:$ {\ a \ part} / {\ the \ line} $),可以表示为:

分开:不同的部分

或者

分开:整个

因为比率比较价值,所以它们可以将单个件相互比较或整个单独的部分。

如果Leslie在抽屉里只有5个白色袜子和2个红色袜子,那么白色袜子的比例全部抽屉里的袜子是5到7.(为什么7?因为有5个白色和2个红色袜子,所以它们一起制作5 + 2 = 7个袜子。)

body_ratio_cooking.jpg.在作用中的一些比率的许多用途(在这种情况下,比率是A部分:不同的部分)。

减少比率

就可以减少馏分,所以过得可能比率。

凯尔有邮票集合。其中45只有雏菊和30张照片有玫瑰的照片。菊花邮票在他的收藏中罗比邮票的比例是多少?

***

现在,该比率为45:30 $。但它们具有15的共同指针,因此可以减少这种比率。

$ 45/15 = 3美元

$ 30/15 = 2美元

邮票的比例是3:2

增加比率

因为你可以减少比率,你也可以做相反的事情增加他们。为此,必须将每条比例乘以相同的数量(就像您必须在每侧上的相同量划分,以降低比率)。

因此,4:3的比例也可以是

$ 4(2):3(2)= 8:6 $

$ 4(3):3(3)= 12:9 $

等等。

从一个装有12个红色弹珠和12个黑色弹珠的罐子里取出弹珠。能被移走的最少玻璃球数是多少使得罐子里剩下的红黑玻璃球之比是4比3?

***

现在,有一个相同的大理石,因此比率是12:12(或1:1)

我们知道我们想要达到的最终比率是4:3,并且比率的每一边都必须乘以(或除以)相同的数量,以保持比率一致。我们想去掉as很少尽可能大的大理石,所以让我们想象4:3是减少的比例。

这意味着我们需要看到减少比率为4:3的总大小。因此,4和3必须乘以相同的数量来维持其比率,但达到比其7(4 + 3 = 7)的总大部块数量更高。

我们可以看到12个是可被4所以的,所以红色大理石可以想象保持不变,以获得新的比例为4:3。

$ 12/4 = 3 $

因为4能整除12,所以这是被拿走的玻璃球最少的。因为4乘以3等于12,我们知道两个都4和3必须乘以3,以保持新比例为4:3一致。

为了找到新的黑球数,我们用3*3=9。

新的黑球数量是9。因为红球还是12,所以总玻璃球数必须少3个(为什么?因为12个黑色弹珠−3个黑色弹珠=9个黑色弹珠)

所以我们的最终答案是3,我们必须将3个黑色的大理石拿走,以获得新的比例为4:3的红色大理石到黑色大理石。

找到整体

如果给你一个比较两部分(一块:另一块)的比率,并告诉你找到总数,只需把所有的部分加在一起。

它可以帮助你把它像一个代数问题在每一方的比例是一定比例的多个x。因为每一方都必须分立、比例乘以相同数量保持一致,我们可以认为双方拥有相同的变量。

例如,比例为4:5可以是:

$ 4(1):5(1)= 4:5 $

4美元(2):5(2)= 8美元

等等,正如我们上面所做的那样。

但这意味着我们也可以把4:5表示为:

$ 4x:5x $

为什么?因为每边都必须以相同的速率变化。在这个例子中,我们的汇率是x美元。

因此,如果您被要求找到总金额,则会将这些部分添加在一起。

$ 4x + 5x = 9x $。总金额为9倍。在这种情况下,我们没有更多的信息,但我们知道总数必须能被9整除。

让我们来看看另一个问题。

泰万有一篮子鸡蛋要卖掉。篮子里有两种不同的鸡蛋——白鸡蛋和棕鸡蛋。棕色蛋和白色蛋的比例是2:3。泰万的篮子里不可能有多少个鸡蛋?

a)5

B 10.

c)12

D) 30

E) 60

***

为了了解他的总共有多少个鸡蛋,必须将两块添加在一起。

所以2 + 3 = 5

这意味着篮子中的鸡蛋总数必须为5或5.为什么?因为2:3是篮子中卵比比的最小形式。这意味着他可以有:

$ 2(2):3(2)= 4:6 $鸡蛋在篮子里(总计10个鸡蛋)

$2(3):3(3)=6:9$鸡蛋在篮子里(总共15个鸡蛋)

等等。我们不知道它有多少个蛋,但我们知道它一定是5的倍数。

这意味着我们的答案是c12.没有可能在篮子里有12个鸡蛋。

body_dance_steps-1.jpg.现在我们掌握了分数和比率的知识,我们必须遵循正确的步骤来解决我们的问题。

如何解决分数,比例和合理的数字问题

既然我们已经讨论了分数和比率是如何形象化的,那么让我们来看看你们在考试中是如何看待它们的。当你遇到分数或比率问题时,注意以下步骤来找到解决方法:

#1:确定问题是否涉及分数或比率

分数将涉及比较$ \ pieces / \全价。

比率几乎总是包含一件:一件(或极少情况下,一件:整体)的比较。

您可以告诉问题何时是特定的比率,因为问题文本将执行三件事之一:

  • 使用:符号,
  • 使用“___到___”短语
  • 明确地使用文本中的“比例”字。

如果问题希望您将答案作为比较两件的比率,请确保不要将其混淆与整体上的一块比较的分数!

2 .如果一个比例问题要求你改变或确定价值,首先找到你各部分的总和

为了确定您的总金额(或无减少的单个碎片),必须将比率的所有部分添加在一起。如果您的比率降低,这笔款项将是您的完整整体,要么是整个整体的因素。

为2名反对候选人,加西亚和佩雷斯投放了120,000票。如果Garcia以5比3的比例赢得了5比3,那么Pérez的投票数量是多少?

(a)15,000

(b)30,000

(c)45,000

D) 75000

(e)80,000

***

如你所见,我们的5比3大大减少了(这些数字都不是上万)。我们知道总共有12万张选票,所以我们需要确定每个候选人的票数。

让我们首先将我们的比率添加在一起。

5:3 => 5 + 3 = 8

因为8比120,000多得多,我们知道8不是我们的整体。但是8是因素我们的整体。

$ {120,000} / 8 = 15,000美元

因此,如果我们把15,000看作一个分量(替换变量$x$),而Garcia和Pérez有5个分量和3个分量的比值,那么我们就可以得到每个候选人的总票数。

G: P = 3 = > $ 5 x: 3 x美元

5 * 15,000 = 75,000

3 * 15000 = 45000

所以加西亚赚了75,000票,佩雷斯赚了45,000票。(您甚至可以确认这必须是通过确保增加120,000人来确认这一定的投票数。75,000 + 45,000 = 120,000人。成功!)

所以我们的最终答案是c,Pérez赚了45,000票。

#3:在疑问时,尝试使用小数

小数可以使解题更容易(相对于使用分数)。所以不要害怕把分数转换成小数,这样会更简单。

#4:记住你的特殊分数

总是请记住,超过1的数字与原始号码相同,并且它们自身= 1。

如果$ h $和$ k $是正数和$ h + k = 7 $ that {7-k} / h = $

(一)1

(B) 0

(C) 1

(d)$ H $

(e)$ k-1 $

***

在这里,我们有两个等式:

$ h + k = 7 $

$ {7-k} / h $

我们来处理第一个。

$ h + k = 7 $可以重写为:

$ h = 7-k $(为什么?我们只需减去两侧的$ k $)

所以现在我们可以用$h$代替第二个方程中的$(7−k)$,因为这两项相等。

这让我们留下:

$ h / h $

我们知道任何数字都= 1。

所以我们的最终答案是一个,1。

body_test - 1. - jpg
现在,让我们把你的知识放在考试中!

测试你的知识

#1:

面粉,水和盐分别以5:4:1的比例混合,产生一定的面团。为了制作5磅的这面团,需要哪种盐,以磅为单位?

(一)1/4美元

(b)$ 1/2 $

(c)3美元/ 4美元

(D) 1

(e)2

#2:

body_q_special_fraction_1.png.

#3:以下哪项答案选择介绍了5美元/ 4美元,4美元$,$ 19/17 $,13美元/ 12美元和7美元/ 6美元,以便至少最大?

(a)$ 19/17 $,$ 7/6 $,$ 13/12 $,$ 4/3 $,$ 7/6 $,5美元/ 4 $

(b)$ 4/3 $,5美元/ 4 $,$ 7/6 $,$ 19/17 $,$ 13/12 $

(c) 13/12$ 7/6$ 19/17$ 5/4$ 4/3$

(d)$ 19/17 $,$ 13/12 $,$ 5/4 $,$ 7/6 $,$ 4/3 $

(e) $13/12$ 19/17$ 7/6$ 5/4$ 4/3$

答案:B, D, E

答案的解释:

#1:这个问题是何时找到全部比率的完美示例。面粉,水和盐的比例为5:4:1,这意味着整体是:

$ 5x + 4x + 1x = 10x $

所以10美元x美元是整个。

我们想要5磅的食谱,所以我们必须将10x $兑换为5美元。

10 x = 5美元

$ x = 1/2 $

变量是$1/2$

现在,当我们以1倍$开始时,我们正在寻找要使用的盐量。因此,让我们用我们找到的价值替换我们的$ x $。

$ 1x $

$ 1(1/2)$

1/2美元

这意味着我们需要1美元/ 2美元的盐来制作5磅的混合物。

我们的最终答案是b,$ 1/2#。

#2:对于这个问题,我们必须为t找到一个非零整数,其中$ x + {1 / x} = t $,其中$ x $也是一个整数。

我们根据我们的特殊分数知道,以分数形式获得整数的唯一可能化方法是让我们的Dreginator等于1或-1。这意味着X可能是除1或负1之外的任何东西。

(为什么?如果x不是1,我们得到的是混合式分数。例如,如果x=2,那么我们有:

$ 2 + {1/2} $。如果$ x = 3 $,我们会有:

3美元+{1/3}。等等。获得$t$整数值的唯一方法是当$x=1$时。)

我们试着把$x$的值换成1。

$ x + {1 / x} = t $

$ 1 + {1/1} = 2美元

$ t = 2 $

$t$可能等于2,但这不在选项中。现在我们把$x$换成-1。

$ x + {1 / x} = t $

$ -1 + {1 / -1} = - 2 $

t =−2

成功!我们找到了$ t $的值与我们的答案选择之一匹配。

我们的最终答案是d,$ t = -2 $

#3:对于这样的问题(一个需要按大小对分数排序的问题),通常最好是把小数点分开。但是我们会讲如何用分数法和小数法来解它。

用小数解决:

要用小数解决,只需将每个分子划分为划分的分母以获得小数。然后,按升序命令(正如我们所说)。

$ 5/4 = 1.25 $

$ 4/3 = 1.333 $

$ 19/17 = 1.12 $

13/12 = 1.08美元

$ 7/6 = 1.16 $

我们可以在这里看到,最少到最大的顺序是:

1.08,1.12,16,1.25,1.33

转换回他们的分数形式是:

$ 13/12 $,$ 19/17 $,$ 7/6 $,$ 5/4 $,$ 4/3 $

所以我们最终的答案是E。

或者,我们可以使用分数来解决。

解决使用分数:

让我们在所有分子之间找到一个共同的分母。快速做到这一点是通过将两个最大的分子乘以在一起。(这可能不是至少这是共同的分母,但对于我们的目的来说就够了。)

$ 17 * 12 = 204 $

现在我们来确保其他分母也能整除204。

$ 204/6 = 34 $

$ 204/4 = 51 $

$ 204/3 = 68 $

完美的!现在让我们转换我们所有的分数。

$ 5/4 = {5(51)} / {4(51)} = 255/204 $

$ 4/3 = {4(68)} / {3(68)} = 272/204 $

$ 19/17 = {19(12)} / {17(12)} = 228/204 $

$ 13/12 = {13(17)} / {12(17)} = 221/204 $

$ 7/6 = {7 (34)} / {6 (34)} $

现在他们都分享一个共同的分母,我们可以比较和订购他们的分子。所以,按升序,他们将是:

$ 221/204 $,$ 228/204 $,$ 238/204 $,$ 255/204 $,$ 272/204 $

在转换为原始形式时,它是:

$ 13/12 $,$ 19/17 $,$ 7/6 $,$ 5/4 $,$ 4/3 $

这么做,我们的最终答案是e

body_dog_rest.jpg我想午睡是必要的,你呢?

乘坐

分数和比率可能看起来很棘手,但它们只是代表整个整体和整个本身之间的关系。一旦你知道他们的意思以及如何操纵,你会发现你可以解决饱于遗传物品的任何分数或比例问题。

但总是记住 - 尽管比率和分数相关,但不要让他们混在一起!绝大多数时间,它们给您的比率将使零件与零件的零件进行比较,分数将与整体进行比较。在测试期间造成错误可能很容易,所以不要让自己失去由于粗心的错误而失去了一个观点。

接下来是什么?

你征服了分数,你已经抽取了比率,现在你渴望更多,吧?看起来没有进一步!我们有指南达成一大堆饱满的许多数学主题, 包括可能性整数, 和坚实的几何形状

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考特尼蒙哥马利
关于作者

考特尼在高中坐在坐在高中的第99百分位数中得分,并继续从文化和社会人类学的学位毕业于斯坦福大学。由于她认为开放教育是伟大的社会均衡程序之一,她是关于带来教育和成功的工具的热情。她有多年的辅导经验,并在空闲时间写作创意作品。



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