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SAT MATH的圈子:公式,审查和练习

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张贴了 考特尼蒙哥马利| 2018年3月7日下午1:00:00

SAT数学

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虽然三角形是距离SAT上最常见的几何形状,但请确保不要低估圈子的重要性。您通常会遇到2-3个关于任何坐的圈子的问题,所以它肯定是为了理解INS和他们如何工作的最佳兴趣。本指南在这里向您展示。

这将是您的SAT圈的完整指南,包括面积、周长、度、弧和圆上的点。我们将带你了解这些术语的含义,如何处理和解决圆的各个方面,以及如何解决SAT考试中遇到的最困难的圆问题。

什么是圆圈?

body_circle-1

圆是一种二维形状,其由单点的无限数点(相同距离)形成。这个单点成为圆的中心。

这意味着,只要所有的直线长度相等,从圆的中心所画的任何直线都恰好与圆的边缘重合。

程度

虽然您可以测量两个度数和弧度的圆圈,但您只能在SAT上使用学位。因此,我们只会在本指南中讨论学位措施。

body_circle_degrees.

全圈有360度。半圆(半圈)有360/2 = 180美元。这就是为什么直线的长度总是180度。

要找到一圈,您必须与360度相关联。所以五分之一的圆圈是360美元(1/5)= 72美元,八分之一的圆圈是360美元(1/8)= 45美元等等。

圆周

周长是圆的边缘。它是由距离中心等距的无穷多个点构成的。

在公式中,圆周表示为$ C $。

直径

直径是通过连接在圆周上的两个相对点的圆的中心绘制的任何直线。

在公式中,直径表示为$ D $。

半径

圆的半径是从圆心画到圆周上任意一点的一条直线。它总是直径的一半。

在公式中,半径表示为$ r $。

body_parts_circle

当它们在每个圆周上的恰好触摸时,圆圈被描述为“切线”。

Body_tangent.

一组圆,彼此相切。

π(PI)

如果您拍摄了几何类,那么您也可能熟悉π(PI)。π是表示任何圆周的圆周与其直径的比率的数学符号。它通常表示为3.14(159),但其数字无限。(有关比率的更多信息,请查看我们的指南萨特比率。)

body_pi_1.1.

假设我们有一个特定直径的圆(任意直径)。现在我们把这个圆相乘几次然后把它们排成一行。这就得到了相同直径的4倍。

Body_pi_1.

现在,让我们在圆圈的圆周上分配一个起点,然后从我们的圈子中围绕圆周。

Body_pi_2.

一旦取出圆周并将其铺设平整,可以看到圆周的圆形宽度/直径的3个以上(特别是3.14159次)。

body_pi_3.

圆圈的周长将始终是3.14159(π)直径倍。因此,如果圆的直径为1,则其圆周是π。如果它的直径为2,则其圆周为2π等。

body_wheels.

我们可以以衡量PI的增量的衡量所有距离(用车轮)的距离。

圆形公式

每个SAT数学部分都将始终给出一盒公式。这意味着它不是至关重要的让您记住圈子公式,但我们仍然建议您这样做,如果可能的话。为什么?帮助您的时间管理和解决问题能力。

body_formula_box.

每个SAT数学部分都会有公式。

在时间管理方面,记忆您的公式将节省您的时间来回翻转和问题。并且,在定时标准化测试,如SAT,每秒计数。

它也是为了让您的公式纪念,练习和熟悉的符合您的公式。你知道如何圆圈工作,更快,易于轻松地了解你的问题。

所以让我们看看你的公式。


圆周

$$ c =Πd$$

$$ c =2πr$$

有技术上是两个配方,可以找到一个圆圈的圆周,但它们意味着完全相同。(为什么?因为任何直径总是等于圆半径的两倍)。

因为π是圆形直径与其圆周之间的关系,只要您知道其直径(或其半径),您可以始终找到圆的圆周。

body_sat_circles_1

在这里,我们有两个半圈子和两个半径的总和,$ rs = 12美元。

我们可以为圆弧的半径和圆半径分配不同的值,使得它们的总和为12,或者我们可以在精神上捣碎两个圆圈,并想象rs实际上是直径一个圆圈。让我们看看两种方法。


方法1

因为我们知道$RS = 12$,我们设圆R的半径是4,圆S的半径是8。(为什么这些数字?因为重要的是半径加起来等于12。我们可以选6和6,10和2,3和9,等等,只要它们的和是12。)

所以圆圈的圆周是:

$ c =2πr$

$ c =2π4$

c =π8美元

但是,由于我们只有半个圈子,我们必须将该数字分为一半。

$ {8π} / 2 =4π$

$ c =4π$

现在,我们可以为圈子S做同样的事情。但我们也可以看到它是半圈。因此,而不是以整个圆周占用2πR$的圆周,让我们刚刚占据一半($Πr$),因此拯救了我们用于圆r的所有步骤的麻烦。

$ {1/2} c =πr$

$ {1/2} c =8π$

所以现在让我们加入我们的周边。

4π + 8π = 12π$

所以最终答案是Cπ12美元


方法2.

另一方面,我们可以简单地想象直线RS是一个完整圆的直径。(为什么允许我们这样做?因为我们有两个半径和两个半圆的和,所以组合起来,它们将成为一个圆。)

如果Rs是我们必须找到的完全围绕的圆圈的直径,请让我们使用我们的圆周公式。

$ c =πd$或$ c =2πr$

c =π12美元

再次,我们的答案是c,12π$。

区域

$ $ $ $ =πr ^ 2

你也可以使用π找到区域圆圈也是圆形的,因为圆形区域与其周长密切相关。(Why? A circle is made of infinite points, and so it is essentially made up of infinite triangular wedges--basically a pie with an infinite number of slices. The height of each of these wedges would be the circle’s radius and the cumulative bases would be the circle’s circumference.)

body_circle_wedges.

一个圆圈分成一系列三角形。

所以你可以用下面的公式来求圆的面积:

$ a =πr^ 2 $


弧子

$$c \arc = πd({\arc \degree}/360°)$$

$$ a \ arc \ sector =πr^ 2({\ arc \ dovers} / 360°)$$

为了找到圆弧的圆弧(或由特定电弧制成的楔形区域)的圆周,必须将标准圆形公式乘以弧跨度的圆的分数。

要确定圆弧跨越的圆形部分,您必须具有弧度的程度测量,并将其测量从圆圈的完整360度中找到。因此,如果您想找到90°的弧的圆周,则将是1/4美元的圆形总面积。为什么?因为$ 360/90 = 4 $(换句话说,$ 90/360 = 1/4 $)。


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这个问题给了我们很多信息,所以让我们通过一块碎片。

首先,我们正试图找到弧长的长度,这意味着我们需要两条信息 - 弧度测量和半径(或直径)。

好了,我们有了度数,所以我们在这中间,但是现在我们需要小圆的半径(或直径)。已知它是大圆半径的一半,所以我们必须先求大圆的半径。

我们所知道的关于这个大圆的周长是36。幸运的是,我们可以从周长求出它的半径。

$ c =2πr$

36美元= 2πr美元

$ 18 =Πr$

$ 18 /π= r $

[注:虽然不常见,但这个问题给了我们。半径在PI单位,而不是在PI单位中给出我们的圆周。正如我们所说,这是完全可以接受的,但虽然罕见。]

如果较大圆圈的圆周为36,则其直径等于36美元/π$,这意味着其半径等于18美元/π$。

因为我们知道较小的圆圈有一个半径为较大圆圈的半径的半径,我们知道较小圆圈的半径是:

$({18 /π})/ 2 = 9 /π$

所以我们较小圆圈的半径为9美元/π$。这意味着我们最终可以通过使用圆的半径和内部度测量来找到较小圆周圆周的弧度。

$ c_ \ arc =2πr({\ arc \ dovers} / 360)$

$ c_ \ arc =2π({9 /π})(80/360)$

$ c_ \ arc = 4 $

所以最终答案是D4。

body_pi

圆圈与PI之间的关系是恒定和不可抗拒的。

周六的典型圈子问题

SAT上的圈子问题几乎总是涉及图表。对于非常罕见的例外,您将获得一张工作的图片。但我们将在此讨论视图和单词问题,因为您将在测试中获得多种类型的圆圈问题。


图表问题

图表问题将为您提供工作图。您必须使用提供的视觉,并找到缺失的缺失或查找等效的测量或差异。

有用的提示:经常(虽然并不总是),解决圆圈问题的技巧是在寻找和理解半径。所有的线路从圆的中心绘制到圆周的是半径,因此等于。这通常会扮演解决整个问题的重要组成部分。

body_sat_circles_5.

这是一个完美的例子,当到半径使得问题所有差异时。

我们被告知线AB和AO是平等的。基于我们对圈子的知识,我们也知道AO和BO是平等的。为什么?因为它们都是半径,并且圆的半径总是相等。

这意味着ab = ao = bo,这意味着三角形是等边的。

等边三角形具有所有相等的侧面和所有相等的角度,因此其所有内部角度的度量为60°。(对于等边三角形的更多,查看我们的SAT三角形指南

所以角度测量abo = 60度。

我们的最终答案是D.

词问题

关于圈子的词问题问题将描述以某种方式围绕圈子围绕圈子的场景或情况。

一般来说,您不会在圆圈问题上给出图表的原因是因为您的任务是可视化不同类型的圆型类型或场景。在极少数情况下,您可能会在圈子上得到一个词问题,因为问题描述了不平等,这很难在图中展示。

当给出一个词问题问题时,做你自己的快速草图是一个好主意。这将有助于您按顺序保留所有细节和/或查看您是否可以制作多种类型的形状和方案,如此问题:

body_sat_circles_6.

在这里,我们被要求想象这个圆的几个潜在的不同形状和结果,这就是为什么这个问题呈现给我们作为一个词问题。因为有许多不同的方法来绘制这种情况,我们来看看答案选择,要么消除它们或接受它们。

如果线XM和YM等于XM和YM等于圆圈的某个位置,则选择M可能是圆的中心的可能性。我们知道这一定是真的,因为m是圆圈的中心点会使圆圈的线条和ym半径,这意味着它们是平等的。

body_circle_diagram_1

所以选项I是正确的,我们可以排除选项B和D。

现在让我们看看选择II。

选项二为我们展示了指向x在XY弧的某处的可能性。嗯,如果点m恰好在x和y之间静止,则从x到m和y到m的直线肯定是相等的。

body_circle_diagram_2-1

所以选择II也是正确的。

最后,让我们看看选择III。

选项III为我们提供了M在圈子外面的某个地方的可能性。只要M在X和Y之间的一半距离留在距离,这种情况仍然可以工作。

body_circle_diagram_3.

所以选项III也是正确的。

这意味着我们的所有选项(I,II和III)也是可能的。

我们的最终答案是E.

Body_ace.

现在让我们谈谈圈子提示和技巧。

如何解决圆圈问题

既然你知道你的公式,让我们走过SAT数学提示和战略,以解决你的方式。

#1:记住你的公式和/或知道去哪里找它们

正如我们前面提到的,最好是尽可能记住你的公式。但如果你觉得背公式不舒服,或者你担心你会把它们弄混,不要犹豫,看看你的公式盒——这就是为什么它在那里。

只需在测试日之前仔细查看配方框,以便您确切地知道它是什么,在哪里找到它,以及如何使用该信息。(有关您在测试的公式上,请查看我们的指南SAT数学公式。)


#2:画画,画画,画画

如果你没有给出一个图表,自己画一个!让自己的照片并不需要很长时间,这样可以拯救你在你的测试时拯救你很多悲伤和斗争。当您尝试在头脑中执行数学时,才能做出假设或混合您的数字可能太容易,因此不要害怕花点时间绘制自己的照片。

当你在鉴于一个图表,绘制它!标记一致的线条和角度,写入半径测量或给定角度。标记您需要或提供的所有信息。原因不是一切都在你的图表中标记是这样的,所以问题不会太容易,所以始终在您自己的信息中写入。


#3:分析真正被问到的东西

如果你认为你应该找到该地区,世界上所有的公式都不会帮助你,但你真的被要求找到周长。始终记住,标准化的测试正试图让您以您可能陌生的方式解决问题,因此仔细阅读并密切关注您实际被问到的问题。


#4:使用您的公式

一旦验证了你应该找到的内容,大多数圈子问题都很简单。将您的Givens插入您的公式,隔离您缺少的信息并解决。瞧!


测试你的知识

现在让我们把你的新发现圈子知识放在一些真正的SAT数学问题上的测试中。

1)

body_sat_circles_2


2)

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3)

body_sat_circles_8.



答案:CDC

答案解释:

1)这个问题涉及一种创造力的划伤,是一个完美的例子,即你可以在给定的图表上绘制(你在纸上呈现这个)。

我们知道铭刻的数字是一个正方形,这意味着它的所有两侧都是平等的(对于更多的方块,查看我们的Sat Polygons指南)。因此,如果绘制连接点R和T的线路,您将具有完美的半圆或180°。

body_diagram_2-1-1

现在,我们正在寻找的弧跨越半圆的一半。

body_diagram_2-2

这意味着ST的弧度测量值是:

$ 180/2 = 90美元。

所以最终答案是C。


2)现在,在我们甚至开始之前,请仔细阅读问题。问题希望我们找到周长阴影区域。如果你经过考试太快了,你可能会发现你可能会发现区域在阴影区域,这将使你完全不同的答案。

因为我们要求圆的周长,所以必须用周长公式。

让我们从中间的两个圆圈开始。

我们知道每个圆的半径是3阴影中的周长恰好是每个圆的一半。所以每个小圆的周长为:

$ {1/2} c =πr$

$ c =3π$

还有小圆圈,所以我们必须加倍这个数字:

$3π * 2 = 6π$

所以内部周长为6π$。

现在,让我们找到外围,这是较大圆圈的一半的圆周。

如果每个小圆圈的半径为3,那么这意味着每个小圆的直径是:

$ 3 * 2 = 6 $

并且每个小圆的直径与较大圆圈的半径相同。这意味着较大圆圈的完整圆周是:

$ c =2πr$

$ c =2π6$

c =π12美元

但我们知道我们的周长仅跨越外周的一半,所以我们必须将这个数字分成两半。

$ {12π} / 2 =6π$

我们的外周边等于6π$,我们的内部周边等于6π$。要获得完整的周边,我们必须将它们放在一起。

6π + 6π = 12π$

我们的最终答案是d,12π$。


3)在这里,我们开始了解圆圈的面积为25π$。我们的任务是寻找其中一个楔子的周边,这要求我们知道圆的半径长度。这意味着我们必须从圈子区域向后工作,以找到其半径。

圆圈区域的公式是:

$ a =πr^ 2 $

我们的地区等于25,所以:

$√25= 5 $

我们的半径测量等于5。

现在,我们必须找到每个楔形的电弧测量。为此,让我们找到完全圆周测量并除以楔数(在这种情况下,8)。

$ c =2πr$

$ c =2π5$

c =π10美元

周长是$10π$,除以8得到:

${10π}/ 8美元={5/4}π

现在,让我们将该电弧测量添加到圆的半径值的两倍,以便获得其中一个楔形物的完整周边。

π$ 5 + 5 + {5/4

$ 10 + {5/4}π$

所以我们的最终答案是C.

body_pie_pi.
现在是最好的pi(e) - 你赢得了它!

停产

几乎总是,任何圆圈的最有用部分都将是半径。一旦你已经习惯于认为所有的半径都是平等的,那么你甚至经常能够轻松地轻松过去最棘手的坐圈子问题。

如果你理解了半径是如何工作的,并且知道圆的面积和周长,那么你就可以为SAT能想出的任何圆问题做好准备。要知道SAT会以奇怪的方式呈现给你问题,所以要记住解决圆题的技巧和策略。认真工作,保持头脑清醒,你就会做得很好。

下一步是什么?

你胜过圈子(Huzzah!)。那么现在怎么办?好吧,我们已经有了任何指导坐数学主题你想刷新。感觉如果你的线和角?怎么样概率整数?看看我们的SAT数学选项卡关于您可能拥有的任何SAT数学主题的博客。

不知道从哪里开始?首先,确保你理解了这个测试是如何评分的,什么是“好”分数,什么是“坏”分数,因此您可以弄清楚您目前如何堆叠。

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考特尼蒙哥马利
关于作者

考特尼在高中坐在坐在高中的第99百分位数中得分,并继续从文化和社会人类学的学位毕业于斯坦福大学。由于她认为开放教育是伟大的社会均衡程序之一,她是关于带来教育和成功的工具的热情。她有多年的辅导经验,并在空闲时间写作创意作品。



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